【√(n^2+k)が自然数となる自然数解nを持つ自然数kの条件】

√(n^2+k)が自然数となる整数nが存在するような自然数kの条件を求めよ。

√(n^2+k)=mとする。

m＞0, k＞0かつm＞n

m+n≧2, m-n≧1→k≧2

m^2-n^2=k

(m+n)(m-n)=k

(m+n)-(m-n)=2nだから、

m+nとm-nの奇偶は一致する。

m+n,m-nともに奇数→kも奇数

m+n,m-nともに偶数→m+n=2p,m-n=2q

p＞qより、p,q共に1でない。pq＞1

よって、k＞4

したがって、

k≡2 (mod 4)のとき、解が存在せず、

奇数または4より大きい4の倍数のときは解が存在する。

【平方数の差は

奇数または4より大きい4の倍数】

【例】

√(n^2+2021)

(m+n)(m-n)=2021=43×47

(m+n,m-n)=(2021,1)(47,43)

n=1010,2

√(n^2+2023)

(m+n)(m-n)=2023=7×17^2

(m+n,m-n)=(2023,1)(289,7)(119,17)

n=1011,141,51

√(n^2+2024)

(m+n)(m-n)=2024

m+n=2p,m-n=2qとする。

p＞qで、n=p-q

pq=506=2×11×23

(p,q)=(506,1)(253,2)(46,11)(23,22)

n=505,251,35,1

√(n^2+2022)

(m+n)(m-n)=2022≡2 (mod 4)

解なし

【解nの個数】

kが4の倍数のとき、p=k/4

kが奇数のとき、p=k

p=Πp[i]^t[i]とし、M=Π(t[i]+1)とする。

〈Mはpの約数の個数〉

解nの個数は、

M=2t[偶数]→t個

M=2t+1[奇数]→t個

t=[{M-{1+(-1)^(M-1)}/2}/2]

=[{2M-1-(-1)^(M-1)}/4]個

(ガウス記号)

(2022/8/26)