【三角形の面積の公式(まとめ)】

△ABCの面積Sの公式を整理してみよう。

【底辺aと高さh】
S=1/2×ah


【2辺とはさむ角】
S=1/2×bc×sinA
=1/2×ca×sinB
=1/2×ab×sinC

(∵)h=bsinC

【3辺と外接円の半径R】
S=(abc)/(4R)

(∵)正弦定理より、sinA=a/(2R)


【3辺と内接円の半径r】
S=1/2×(a+b+c)r

(∵)△ABC=△IBC+△ICA+△IAB
Iは内接円の中心


【3辺(ヘロンの公式)】
t=(a+b+c)/2
S=√{t(t-a)(t-b)(t-c)}

(∵)余弦定理より、
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
(2bcsinA)^2=(2bc)^2×(sinA)^2
=(2bc)^2×{1-(cosA)^2}
=(2bc)^2-(2bccosA)^2
=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)
={(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}
=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
a+b+c=2tとすると
(2bcsinA)^2=2t(2t-2a)(2t-2b)(2t-2c)
=16t(t-a)(t-b)(t-c)
2bcsinA=4√{t(t-a)(t-b)(t-c)}
S=1/4×2bcsinA=√{t(t-a)(t-b)(t-c)}


【座標から】
A(a,b),B(c,d)とする。
△OABの面積S=1/2×|ad-bc|

(∵)
(a→)=(→OA)=(a,b)
(b→)=(→OB)=(c,d)とする。
S=1/2×|a→|×|b→|×sinθ
4S^2=|a→|^2×|b→|^2×(sinθ)^2
=|a→|^2×|b→|^2-(|a→|×|b→|×cosθ)^2
=|a→|^2×|b→|^2-{(a→)・(b→)}^2
=(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2
=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2
-{(ac)^2+2abcd+(bd)^2}
=(ad-bc)^2
よって、
S=1/2×|ad-bc|

A(p,q), B(a,b), C(c,d)のとき、
S=1/2×|(a-p)(d-q)-(b-q)(c-a)|

【余弦定理より】

16S^2=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

(∵)
2S=bcsinA
4S^2=b^2c^2(sinA)^2
16S^2=4b^2c^2(sinA)^2
=4b^2c^2{1-(cosA)^2}
=4b^2c^2-(2bccosA)^2

=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2

=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2

=(2bc+b^2+c^2-a^2){2bc-(b^2+c^2-a^2)}

={(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}

=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
<辺に√がある場合も有効>
<3辺の和が奇数も場合も有効>

(例)a=√7, b=√2, c=√3のとき、
16S^2=4×2×3-(2+3-7)^2
=24-4=20
S^2=5/4
S＞0より、S=√5/2

(例)a=4, b=5, c=6

16S^2

=(4+5+6)(-4+5+6)(4-5+6)(4+5-6)

=15×7×5×3=15^2×7

4S=15√7

S=(15√7)/4