大人の数学教室138(三角比⑬)

【第13章】

(13)三角形の形状決定

△ABC の形状を決定する。

①正三角形⇔3 辺が等しい

②二等辺三角形⇔2 辺が等しい

⇔2 角が等しい

③直角三角形⇔三平方の定理が成り立つ

正弦定理と余弦定理を利用して、辺の関係あるいは角の関係を調べる。

正弦定理より

sinA=a/(2R), sinB=b/(2R), sinC=c/(2R)

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

例)sinA=2cosBsinCを満たす△ABCはどんな三角形か。

【解】

2RsinA=2cosB(2RsinC)

正弦定理より、

a=2c×cosB

余弦定理より、

a=2c×(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

a^2=c^2+a^2-b^2

b^2=c^2

b＞0, c＞0より、b=c

よって、b=cの二等辺三角形