大人の数学教室134(三角比⑨)

【第9章】

(9)正弦定理

正弦定理

△ABCにおいて、外接円の半径をRとする。

a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R

【正弦定理の証明】

△ABC の外接円の中心をO とし、半径をR とする。a/sinA=2R を示す。

(i)辺BC が直径の場合

A が円周上の点だから∠BAC=90°

a=2R

a/sinA=2R/sin90°=2R

(ii)辺BCが直径でない場合

円周は長さの異なる2 つの弧に分かれる。

(ii)-1 頂点A が長い弧上の点の場合

直線OBと、点B と異なる円との交点をD とする。BD は直径だから、∠BCD=90°

弧⌒BCの円周角だから、A=∠BAC=∠BDC

sin∠BDC=BC/BD=a/2R

よって、sinA=a/2R a/sinA=2R

(ii)-2 頂点A が短い弧上の点の場合

長い弧上に点E をとると、(ii)-1より

sin∠BEC=a/2R

また、四角形ABEC は円に内接する四角形である。

∠BAC+∠BEC=180° だから、

∠BAC=180°-∠BEC

sinA=sin∠BAC=sin(180°-∠BEC)

=sin∠BEC=a/2R

よって、a/sinA=2R

【証明終】

(対辺)-(対角)がペアになっている。