大人の数学教室142(三角比⑰)

【第17章】

(17)三角形の面積②

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

(sinA)^2=1-(cosA)^2

=1-(b^2+c^2-a^2)^2/(4b^2c^2)

S=½×bcsinAより、4S=2bcsinA

16S^2=(4S)^2

=(2bcsinA)^2

=4b^2c^2×(sinA)^2

=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2

=

{2bc+(b^2+c^2-a^2)}{2bc-(b^2+c^2-a^2)}

={(b+c)^2-a^2}{a^2-(b-c)^2}

=(a+b+c)(-a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)

t=(a+b+c)/2 とおくと、

a+b+c=2t,

-a+b+c=2(t-a), a-b+c=2(t-b), a+b-c=2(t-c)

16S^2=16t(t-a)(t-b)(t-c)

S^2=t(t-a)(t-b)(t-c)

したがって、

S=√(t(t-a)(t-b)(t-c))

ヘロンの公式【3辺→面積】

三辺の長さがa,b,cである△ABCの面積S

t=(a+b+c)/2 とおくと、

S=√{t(t-a)(t-b)(t-c)}

例)a=7, b=8, c=9のとき、面積Sを求めよ。

t=(7+8+9)/2=12

ヘロンの公式より、

S=√{12×(12-7)×(12-8)×(12-9)}=12√5

途中の式を活用する。

16S^2=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2

例)a=√2, b=√3, c=√5のとき、

16S^2=(2√3×√5)^2-(3+5-2)^2=60-36=24

4S=2√6

よって、S=√6/2

内接円の半径をr とおくと、

S=½×r(a+b+c)

(3辺と内接円の半径→面積)

三角形の面積を求めるには

① 2 辺とはさむ角

② 3 辺と外接円の半径

③ 3 角と外接円の半径

④ 3 辺→ヘロンの公式

⑤ 3 辺と内接円の半径

例)a=7, b=3, c=8のとき、外接円の半径Rと内接円の半径rを求めよ。

【解】

t=(7+3+8)/2=9

S=√{9×(9-7)×(9-3)×(9-8)}=6√2

S=(abc)/(4R)より、

R=(abc)/(4S)=168/(24√2)

=(168√2)/48=(7√2)/2

S=½×r(a+b+c)より、

r=(2S)/(a+b+c)=(12√2)/18=(2√2)/3