（01）
（ＰまたはＱ。）といふ「日本語」は、「排他的論理」 と「非排他的論理和」の、「２通り」がある。
（ＰならばＱ。）といふ「日本語」も、「逆も真である。」と「逆は偽である。」の、「２通り」がある。
然るに、
（02）
（Ｐかつ、Ｑでない。）といふ「日本語」は、「１通り」しかない。
従って、
（03）
（Ｐかつ、Ｑでない。ではない。）といふ「日本語」も、「１通り」しかない。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅲ）
１ （１） ～（ Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆（～Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（ Ｐ＆～Ｑ）＆（ Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＤＮ
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
（05）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅰ） ～Ｐ∨ Ｑ ：Ｐでないか、または、Ｑである。
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、 Ｑである。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。
然るに、
（07）
「交換法則」により、
（ⅰ） Ｑ∨～Ｐ ：Ｑであるか、または、Ｐでない。
（ⅲ）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅲ） である。
然るに、
（08）
（ⅲ）Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。：～（～Ｑ＆Ｐ）
といふことは、
（ⅱ）Ｑでないならば、Ｐでない。：～Ｑ→～Ｐ
といふことに、他ならない。
従って、
（07）（08）により、
（09）
（ⅰ） ～Ｐ∨ Ｑ ：Ｐでないか、または、Ｑである。
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、 Ｑである。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。といふことは、
（ⅰ） Ｑ∨～Ｐ ：Ｑであるか、または、Ｐでない。
（ⅱ） ～Ｑ→～Ｐ ：Ｑでないならば、 Ｐでない。
（ⅲ）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） である。といふことに、他ならない。
従って、
（09）により、
（10）
（ⅰ） ～Ｐ∨ Ｑ ：Ｐでないか、または、Ｑである。
（〃） Ｑ∨～Ｐ ：Ｑであるか、または、Ｐでない。
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、 Ｑである。
（〃） ～Ｑ→～Ｐ ：Ｑでないならば、 Ｐでない。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） であるものの、特に、
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、 Ｑである。
（〃） ～Ｑ→～Ｐ ：Ｑでないならば、 Ｐでない。
を、「対偶（Contraposition）」と言ふ。
然るに、
（03）により、
（11）
（ⅲ）の「右辺の日本語」には、「１通りの意味」しかない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ⅰ）の「右辺の日本語」にも、「１通りの意味」しかなく、
（ⅱ）の「右辺の日本語」にも、「１通りの意味」しかない。
然るに、
（13）
① ～（真＆～真） は「真」。
② ～（真＆～偽） は「偽」。
③ ～（偽＆～真） は「真」。
④ ～（偽＆～偽） は「真」。
である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
① ～真∨真 は「真」。
② ～真∨偽 は「偽」。
③ ～偽∨真 は「真」。
④ ～偽∨偽 は「真」。
であって、
① 真→真 は「真」。
② 真→偽 は「偽」。
③ 偽→真 は「真」。
④ 偽→偽 は「真」。
である。
然るに、
（15）
精選版 日本国語大辞典の解説
はいたてき‐ろんりわ【排他的論理和】
〘名〙 論理和（「または」）の解釈の一つ。二つの命題から成る複合命題「ＡまたはＢ」が真となるのはＡとＢのどちらか一方だけが真であるときとする。日常の「または」もこの解釈をとる場合が多い。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「～Ｐ∨Ｑ」が、「排他的論理和」であるならば、
① ～真∨真 は「真」。
② ～真∨偽 は「偽」。
③ ～偽∨真 は「真」。
④ ～偽∨偽 は「真」。
ではなく、
①｛（～真＝偽）∨真 ｝は「真」。
②｛（～真＝偽）∨偽 ｝は「偽」。
③｛（～偽＝真）∨真 ｝は「偽」。
④｛（～偽＝真）∨偽 ｝は「真」。
でなければ、ならない。
従って、
（10）（12）（16）により、
（17）
（ⅰ）～Ｐ∨Ｑ：Ｐでないか、または、Ｑである。
の場合は、「排他的論理和」ではない。
然るに、
（18）
① 真→真 は「真」。
② 真→偽 は「偽」。
③ 偽→真 は「真」。
④ 偽→偽 は「真」。
に於いて、「→」を、
「←」に換へると、
① 真←真 は「真」。
② 真←偽 は「真」。
③ 偽←真 は「偽」。
④ 偽←偽 は「真」。
然るに、
（18）により、
（19）
② 真→偽 は「偽」。
③ 偽→真 は「真」
に対して、
② 真←偽 は「真」。
③ 偽←真 は「偽」。
であるため、「真・偽」が、「一致しない」。
従って、
（10）（18）（19）により、
（20）
（ⅱ）Ｐ→Ｑ：Ｐであるならば、Ｑである。
であるからと言って、
（ⅱ）Ｑ→Ｐ：Ｑであるならば、Ｐである。
といふ「逆も真である。」といふ、ワケではない。
然るに、
（21）
（ⅲ） （Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。
（〃） （～Ｐ＆Ｑ）：Ｐでなくて、Ｑである。
（〃） （Ｑ＆～Ｐ）：Ｑであって、Ｐでない。
に於いて、
（ⅲ）＝（〃） ではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（21）により、
（22）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
であるからと言って、
（ⅲ）～（Ｑ＆～Ｐ）：Ｑであって、Ｐでない。といふことはない。
といふワケではない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（01）（03）、（10）～（22）により、
（23）
（ⅰ） ～Ｐ∨ Ｑ ：Ｐでないか、または、Ｑである。
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、 Ｑである。
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）＝（ⅲ） であるものの、「一番、分かり易い」のは、
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
である。
然るに、
（24）
「交換法則」により、
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅲ）＝（〃） である。
然るに、
（25）
（ⅲ）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
といふことは、
（ⅲ）Ｐであるためには、Ｑであることが、「必要」である。
といふ、ことである。
従って、
（24）（25）により、
（26）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅲ）Ｑであることは、Ｐであるための「必要条件」である。
然るに、
（27）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
であるならば、
（ⅲ）Ｐであれば、それだけで、Ｑである。
従って、
（28）
（ⅲ）～（Ｐ＆～Ｑ）：Ｐであって、Ｑでない。といふことはない。
（〃）～（～Ｑ＆Ｐ）：Ｑでなくて、Ｐである。といふことはない。
に於いて、
（ⅲ）Ｐであることは、Ｑであるための「十分条件」である。
従って、
（06）（26）（28）により、
（29）
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、Ｑである。
に於いても、
（ⅲ）Ｑであることは、Ｐであるための「必要条件」であって、
（ⅲ）Ｐであることは、Ｑであるための「十分条件」である。
然るに、
（30）
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、Ｑであり、
（ⅳ） ～Ｐ→～Ｑ ：Ｐでなければ、 Ｑでない。
であるならば、
（ⅱ） Ｐは、Ｑの「十分条件」であって、尚且つ、
（〃） Ｐは、Ｑの「必要条件」である。
従って、
（30）により、
（31）
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、Ｑであり、
（〃） ～Ｐ→～Ｑ ：Ｐでなければ、 Ｑでない。
であるならば、
（ⅱ） Ｐは、Ｑの「必要十分条件」である。
然るに、
（32）
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、Ｑであり、
（〃） ～Ｐ→～Ｑ ：Ｐでなければ、 Ｑでない。
であるならば、
（〃） Ｐ＝Ｑ である。
従って、
（31）（32）により、
（33）
（ⅱ） Ｐ→ Ｑ ：Ｐであるならば、Ｑであり、
（〃） ～Ｐ→～Ｑ ：Ｐでなければ、 Ｑでない。
であるならば、
（ⅱ） Ｐは、Ｑの「必要十分条件」であって、
（〃） Ｑも、Ｐの「必要十分条件」である。