（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ→ Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３（４） Ｆａ ３＆Ｅ
３（５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
１３（６） Ｇａ ２４ＭＰＰ
１３（７） ～Ｇａ＆Ｇａ ５６＆Ｉ
１ （８） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３７ＲＡＡ
１ （９） ～Ｆａ∨～～Ｇａ ８ド・モルガンの法則
１ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９ＤＮ
１ （イ）∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） アＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ∨ Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
３ （５） Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） イカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
１ （コ） Ｆａ→ Ｇａ エケＣＰ
１ （サ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） コＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘはＦでないか、Ｇであるか、ＦでなくてＧである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
｛ｘの変域（ドメイン）｝が、｛ａ、ｂ、ｃ｝であるならば、そのときに限って、
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
①（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）
②（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）
の場合は、
① ～Ｆａ＝真（本当）
② ～Ｆｂ＝真（本当）
③ ～Ｆｃ＝真（本当）
であるならば、「真（本当）」である。
従って、
（05）により、
（06）
例へば、
① ～Ｆａ＝ａはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｂ＝ｂはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｃ＝ｃはフランス人ではない＝真（本当）
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
は、「真（本当）」である。
然るに、
（07）
① ａはイギリス人である。
① ｂはアメリカ人である。
① ｃはイタリア人である。
であるならば、
① ～Ｆａ＝ａはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｂ＝ｂはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｃ＝ｃはフランス人ではない＝真（本当）
であるため、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
｛ｘの変域（ドメイン）｝が、｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとして、
① ａはイギリス人であって、フランス人ではない。
① ｂはアメリカ人であって、フランス人ではない。
① ｃはイタリア人であって、フランス人ではない。
といふことが、「真（本当）」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は寛大（Generous）である。
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
① フランス人が、一人もゐない。
としても、
① ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は寛大（Generous）である。
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（09）により、
（10）
① 人間が、一人もゐない。
としても、
① ∀ｘ（人間ｘ→正直ｘ）＝すべての人間は、正直である。
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（10）により、
（11）
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
「すべてのｘについて、もしｘが人間ならばｘは正直である」
は命題論理の法則の一つである
（Ｐ→Ｑ）＝～（Ｐ＆～Ｑ）
をあてはめれば、
「すべてのｘについて、ｘが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１２２頁）。
といふ、ことになる。
然るに、
（12）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→ Ｇａ Ａ
３（３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３（４） Ｆａ ３＆Ｅ
３（５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
２３（６） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２３（７） ～Ｇａ＆Ｇａ ５６＆Ｉ
２ （８） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３７ＲＡＡ
２ （９） ～Ｆａ∨～～Ｇａ ８ド・モルガンの法則
２ （イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ９ＤＮ
２ （ウ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） イＥＩ
１ （エ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２ウＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ∨ Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
６ （６） ～Ｆａ Ａ
３６ （７） Ｆａ＆～Ｆａ ４６＆Ｉ
６ （８） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３７ＲＡＡ
９ （９） Ｇａ Ａ
３ ９ （ア） ～Ｇａ＆Ｇａ ５９＆Ｉ
９ （イ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
２ （ウ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２６８９イ∨Ｉ
エ （エ） Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
２ エオ（カ） Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
２ エオ（キ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
２ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
２ （コ） Ｆａ→ Ｇａ エケＣＰ
２ （サ） ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） １２サＥＥ
従って、
（02）（12）により、
（13）
① ∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘはＦでないか、Ｇであるか、ＦでなくてＧである。
に於いて、
①＝② であったやうに。
③ ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝あるｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝あるｘについて、ｘはＦでないか、Ｇであるか、ＦでなくてＧである。
に於いても、
③＝④ である。
然るに、
（14）
｛ｘの変域（ドメイン）｝が、｛ａ、ｂ、ｃ｝であるならば、そのときに限って、
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
③ ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
「真理表（Truth table）」により、
③ （～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）
④ （～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）
の場合は、
③ ～Ｆａ＝真（本当）
であれば、それだけで、「真（本当）」であり、
③ ～Ｆｂ＝真（本当）
であれば、それだけで、「真（本当）」であり、
③ ～Ｆｃ＝真（本当）
であれば、それだけで、「真（本当）」である。
従って、
（07）（16）により、
（17）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「命題」は、
③ ａがイギリス人である。ならば、「真（本当）」であり、
③ ａがイギリス人で、ｂがアメリカ人である。ならば、「真（本当）」であり、
③ ａがイギリス人で、ｂがアメリカ人で、ｃがイタリア人である。ならば、「真（本当）」である。
従って、
（09）（17）により、
（18）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は寛大（Generous）である。
といふ「命題」だけでなく、
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝あるｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝フランス人（French）ならば寛大（Generous）である。
といふ「命題」であっても、
③ フランス人が、一人もゐなくとも、「真（本当）」である。
従って、
（18）により、
（19）
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化（assimilate）してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）」と記号化するかわりに、むしろ「∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）」とするのは、よくある間違い（common mistake）である。しかし、「∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１２３・４頁改）。
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
① の場合は、例へば、
① ～Ｆａ＝真（本当） であって、尚且つ、
① Ｇｂ＝真（本当） であって、尚且つ、
① Ｇｃ＝真（本当） である「場合」等に於いて、「真（本当）」であって、
③ の場合は、
③｛～Ｆａ、Ｇａ、～Ｆｂ、Ｇｂ、～Ｆｃ、Ｇｂ｝の中の、
③｛少なくとも、一つ｝が「真（本当）」であるならば、それだけで、「真（本当）」である。
従って、
（20）により、
（21）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
③ は、必ず「真（本当）」であるが、
③ が「真（本当）」であったとしても、
① が「真（本当）」であるとは、限らない。
従って、
（21）により、
（22）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない。
然るに、
（23）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
１（２） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １ＥＩ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する、「違反」である。
従って、
（22）（23）により、
（24）
言ふまでもなく、「述語計算（Predicate calculation）」を行った「結果」も、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は、寛大（Generous）である。
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝フランス人（French）であるならば寛大（Generous）である。
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない。
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
１ （２） Ｆａ→ Ｇａ １ＵＥ
３（３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３（４） Ｆａ ３＆Ｅ
３（５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
１３（６） Ｇａ ２４ＭＰＰ
１３（７） ～Ｇａ＆Ｇａ ５６＆Ｉ
１ （８） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３７ＲＡＡ
１ （９） ～Ｆａ∨～～Ｇａ ８ド・モルガンの法則
１ （ア） ～Ｆａ∨Ｇａ ９ＤＮ
１ （イ）∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） アＵＩ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（～Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
１ （２） ～Ｆａ∨ Ｇａ １ＵＥ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
４ （４） ～Ｆａ Ａ
３ （５） Ｆａ ３＆Ｅ
３４ （６） ～Ｆａ＆Ｆａ ４５＆Ｉ
４ （７） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｇａ Ａ
３ （９） ～Ｇａ ＆Ｅ
３ ８ （ア） Ｇａ＆～Ｇａ ８９＆Ｉ
８ （イ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
１ （ウ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２４７８イ∨Ｅ
エ （エ） Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
エオ（カ） Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
１ エオ（キ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） イカ＆Ｉ
１ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
１ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
１ （コ） Ｆａ→ Ｇａ エケＣＰ
１ （サ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） コＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
① ∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘはＦでないか、Ｇであるか、ＦでなくてＧである。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
｛ｘの変域（ドメイン）｝が、｛ａ、ｂ、ｃ｝であるならば、そのときに限って、
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
「真理表（Truth table）」により、
①（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）
②（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）
の場合は、
① ～Ｆａ＝真（本当）
② ～Ｆｂ＝真（本当）
③ ～Ｆｃ＝真（本当）
であるならば、「真（本当）」である。
従って、
（05）により、
（06）
例へば、
① ～Ｆａ＝ａはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｂ＝ｂはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｃ＝ｃはフランス人ではない＝真（本当）
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
は、「真（本当）」である。
然るに、
（07）
① ａはイギリス人である。
① ｂはアメリカ人である。
① ｃはイタリア人である。
であるならば、
① ～Ｆａ＝ａはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｂ＝ｂはフランス人ではない＝真（本当）
① ～Ｆｃ＝ｃはフランス人ではない＝真（本当）
であるため、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（03）～（07）により、
（08）
｛ｘの変域（ドメイン）｝が、｛ａ、ｂ、ｃ｝であるとして、
① ａはイギリス人であって、フランス人ではない。
① ｂはアメリカ人であって、フランス人ではない。
① ｃはイタリア人であって、フランス人ではない。
といふことが、「真（本当）」であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は寛大（Generous）である。
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
① フランス人が、一人もゐない。
としても、
① ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は寛大（Generous）である。
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（09）により、
（10）
① 人間が、一人もゐない。
としても、
① ∀ｘ（人間ｘ→正直ｘ）＝すべての人間は、正直である。
といふ「仮言命題」は、「真（本当）」である。
従って、
（10）により、
（11）
要するに「すべて」という語も「人間」といふ語も、「存在する」ということとは無関係である。そこで「すべての人間は正直である」という文の論理的構造をしめす
「すべてのｘについて、もしｘが人間ならばｘは正直である」
は命題論理の法則の一つである
（Ｐ→Ｑ）＝～（Ｐ＆～Ｑ）
をあてはめれば、
「すべてのｘについて、ｘが人間であってそして正直でないということではない」ということと等値である（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１２２頁）。
といふ、ことになる。
然るに、
（12）
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
２ （２） Ｆａ→ Ｇａ Ａ
３（３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３（４） Ｆａ ３＆Ｅ
３（５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
２３（６） Ｇａ ２４ＭＰＰ
２３（７） ～Ｇａ＆Ｇａ ５６＆Ｉ
２ （８） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３７ＲＡＡ
２ （９） ～Ｆａ∨～～Ｇａ ８ド・モルガンの法則
２ （イ） ～Ｆａ∨Ｇａ ９ＤＮ
２ （ウ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） イＥＩ
１ （エ）∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ） １２ウＥＥ
（ⅳ）
１ （１）∃ｘ（～Ｆｘ∨ Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～Ｆａ∨ Ｇａ Ａ
３ （３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３ （４） Ｆａ ３＆Ｅ
３ （５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
６ （６） ～Ｆａ Ａ
３６ （７） Ｆａ＆～Ｆａ ４６＆Ｉ
６ （８） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３７ＲＡＡ
９ （９） Ｇａ Ａ
３ ９ （ア） ～Ｇａ＆Ｇａ ５９＆Ｉ
９ （イ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ３アＲＡＡ
２ （ウ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ） ２６８９イ∨Ｉ
エ （エ） Ｆａ Ａ
オ（オ） ～Ｇａ Ａ
２ エオ（カ） Ｆａ＆～Ｇａ エオ＆Ｉ
２ エオ（キ） ～（Ｆａ＆～Ｇａ）＆
（Ｆａ＆～Ｇａ） ウカ＆Ｉ
２ エ （ク） ～～Ｇａ オキＲＡＡ
２ エ （ケ） Ｇａ クＤＮ
２ （コ） Ｆａ→ Ｇａ エケＣＰ
２ （サ） ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） コＥＩ
１ （シ） ∃ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） １２サＥＥ
従って、
（02）（12）により、
（13）
① ∀ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
② ∀ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘはＦでないか、Ｇであるか、ＦでなくてＧである。
に於いて、
①＝② であったやうに。
③ ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝あるｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝あるｘについて、ｘはＦでないか、Ｇであるか、ＦでなくてＧである。
に於いても、
③＝④ である。
然るに、
（14）
｛ｘの変域（ドメイン）｝が、｛ａ、ｂ、ｃ｝であるならば、そのときに限って、
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
③ ∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
④ ∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（16）
「真理表（Truth table）」により、
③ （～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∃ｘ（ Ｆｘ→Ｇｘ）
④ （～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）＝∃ｘ（～Ｆｘ∨Ｇｘ）
の場合は、
③ ～Ｆａ＝真（本当）
であれば、それだけで、「真（本当）」であり、
③ ～Ｆｂ＝真（本当）
であれば、それだけで、「真（本当）」であり、
③ ～Ｆｃ＝真（本当）
であれば、それだけで、「真（本当）」である。
従って、
（07）（16）により、
（17）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
といふ「命題」は、
③ ａがイギリス人である。ならば、「真（本当）」であり、
③ ａがイギリス人で、ｂがアメリカ人である。ならば、「真（本当）」であり、
③ ａがイギリス人で、ｂがアメリカ人で、ｃがイタリア人である。ならば、「真（本当）」である。
従って、
（09）（17）により、
（18）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は寛大（Generous）である。
といふ「命題」だけでなく、
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝あるｘについて、ｘがＦであるならば、ｘはＧである。
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝フランス人（French）ならば寛大（Generous）である。
といふ「命題」であっても、
③ フランス人が、一人もゐなくとも、「真（本当）」である。
従って、
（18）により、
（19）
「すべてのフランス人は寛大である」は一種の条件文として適切に記号化されるので、これに同化（assimilate）してしまって、「幾らかのフランス人は寛大である」を、正しく「∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）」と記号化するかわりに、むしろ「∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）」とするのは、よくある間違い（common mistake）である。しかし、「∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）」は、それがフランス人であるならば、寛大であるようなあるものが存在することを主張するのであって、これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかし「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１２３・４頁改）。
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
① の場合は、例へば、
① ～Ｆａ＝真（本当） であって、尚且つ、
① Ｇｂ＝真（本当） であって、尚且つ、
① Ｇｃ＝真（本当） である「場合」等に於いて、「真（本当）」であって、
③ の場合は、
③｛～Ｆａ、Ｇａ、～Ｆｂ、Ｇｂ、～Ｆｃ、Ｇｂ｝の中の、
③｛少なくとも、一つ｝が「真（本当）」であるならば、それだけで、「真（本当）」である。
従って、
（20）により、
（21）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いて、
① が「真（本当）」であるならば、
③ は、必ず「真（本当）」であるが、
③ が「真（本当）」であったとしても、
① が「真（本当）」であるとは、限らない。
従って、
（21）により、
（22）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）＆（～Ｆｂ∨Ｇｂ）＆（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝（～Ｆａ∨Ｇａ）∨（～Ｆｂ∨Ｇｂ）∨（～Ｆｃ∨Ｇｃ）
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない。
然るに、
（23）
（ⅰ）
１（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
１（２） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
１（３）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） １ＥＩ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ→Ｇａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ２ＵＩ
は、「ＵＩ（普遍量記号導入の規則）」に対する、「違反」である。
従って、
（22）（23）により、
（24）
言ふまでもなく、「述語計算（Predicate calculation）」を行った「結果」も、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝すべてのフランス人（French）は、寛大（Generous）である。
③ ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）＝フランス人（French）であるならば寛大（Generous）である。
に於いては、
① ならば、③ であるが、
③ ならば、① ではない。