（379）「ＰならばＰでない。故に、Ｐでない。」について。

（01）
２３ Ｐ→～Ｐ├ ～Ｐ
１　（１）　Ｐ→～Ｐ　Ａ
　２（２）　Ｐ　　　　Ａ
１２（３）　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ
１２（４）　Ｐ＆～Ｐ　２３＆Ｉ
１　（５）～Ｐ　　　　２４ＲＡＡ
ここでもまた、～Ｐを求めてＰを仮定し（（２）の行）、矛盾を導く（（４）の行）、故に、（１）が与えられるならば～Ｐが、ＲＡＡによって結論されるのである。証明された連式は特徴的で、恐らく予期されなかったものであろう――ある命題が真ならばその否定が真であるとすれば、その否定は真であると結論することができる（E.J.レモン、竹尾治一郎、 浅野楢英、1973年、３５頁）。
従って、
（01）により、
（02）
２３ Ｐ→～Ｐ├ ～Ｐ ⇔
２３ Ｐならば、Ｐでない。故に、Ｐでない。⇔
２３ ある命題が「本当」であるならば、その命題は「ウソ」である。故に、その命題は「ウソ」である。
といふ「推論」は、「妥当」である。
といふ結果は、特徴的で、恐らく予期されなかったものであろう（striking and perhaps unexpected）。
然るに、
（03）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１　　　　（１）　　　Ｐ→　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２　　　（４）　　　　　～Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（５）　　　　　　Ｑ　　　１３ＭＰＰ
１２　　　（６）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）　　８９＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ
　　　　オ（オ）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　オ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨Ｑ）
　　８　　（ク）　　　　　～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　エク＆Ｉ
１　８　　（コ）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　７ケ＆Ｉ
１　　　　（サ）～～（～Ｐ∨Ｑ）　　８コＲＡＡ
１　　　　（シ）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　サＤＮ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
①   Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡ＰでないかＱである。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
①   Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨Ｑ≡ＰでないかＱである。
に於いて、
① Ｑ＝～Ｐ
② Ｑ＝～Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①   Ｐ→～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない。
② ～Ｐ∨～Ｐ≡ＰでないかＰでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（06）
「冪等律」により、
② ～Ｐ∨～Ｐ≡ＰでないかＰでない。
③ 　　　～Ｐ≡Ｐでない。
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
①   Ｐ→～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない。
② ～Ｐ∨～Ｐ≡ＰでないかＰでない。
③ 　　　～Ｐ≡Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
①   Ｐ→～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない。
② ～Ｐ∨～Ｐ≡ＰでないかＰでない。
③ 　　　～Ｐ≡Ｐでない。
に於いて、
①＝③ であって、
②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
①「Ｐならば、Ｐでない。」＝「Ｐでない。」
②「ＰでないかＰでない。」＝「Ｐでない。」
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
①「Ｐならば、Ｐでない。故に、Ｐでない。」
②「ＰでないかＰでない。故に、Ｐでない。」
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
①「Ｐならば、Ｐでない。故に、Ｐでない。」
②「ＰでないかＰでない。故に、Ｐでない。」
に於いて、
① は、「不思議」であるが、
② は、「不思議」ではない。
従って、
（05）（11）により、
（12）
①   Ｐ→～Ｐ≡Ｐならば、Ｐでない。
② ～Ｐ∨～Ｐ≡ＰでないかＰでない。
に於いて、
①＝② であるが故に、
①「Ｐならば、Ｐでない。故に、Ｐでない。」
②「ＰでないかＰでない。故に、Ｐでない。」
に於いて、
② だけでなく、
① であっても、「不思議」ではない。
従って、
（02）（13）により、
（13）
① 　Ｐ→～Ｐ├ ～Ｐ
を見た際に、
① ～Ｐ∨～Ｐ├ ～Ｐ
であることに、気付きさえすれば、
① 　Ｐ→～Ｐ├ ～Ｐ
といふ「連式」は、「不思議」ではない。
然るに、
（14）
① 　　Ｐ→～Ｐ├ ～Ｐ
の場合は、
① ～（Ｐ＆Ｐ）├ ～Ｐ
であって、
① ～（Ｐ＆Ｐ）├ ～Ｐ
は、「ド・モルガンの法則」により、
①　 ～Ｐ∨～Ｐ├ ～Ｐ
である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① 　　Ｐ→～Ｐ　├ ～Ｐ
② 　～Ｐ∨～Ｐ　├ ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆　Ｐ）├ ～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）により、
（16）
①「Ｐならば、Ｐでない。故に、Ｐでない。」
②「ＰでないかＰでない。故に、Ｐでない。」
③「ＰかつＰである。といふことはない。故に、Ｐでない。」
に於いて、
①＝②＝③ である。