（382）「ド・モルガンの法則」について「余談」。

（01）
（ⅰ）
１　（１）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
１　（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
１　（５）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　Ｑ＆～Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ→　Ｑ）　１６ＲＡＡ
（ⅱ）　
１　　　（１）　～（Ｐ→　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　４（４）　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　３４（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　３４＆Ｉ
　２３４（６）　～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　２５＆Ｉ
　２３　（７）　　　　～～Ｑ　　　４６ＲＡＡ
　２３　（８）　　　　　　Ｑ　　　７ＤＮ
　２　　（９）　　　Ｐ→　Ｑ　　　３８ＣＰ
１２　　（ア）　～（Ｐ→　Ｑ）
　　　　　　　　　（Ｐ→　Ｑ）　　１９＆Ｉ
１　　　（イ）～～（Ｐ＆～Ｑ）　　２アＲＡＡ
１　　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　イＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① 　　Ｐ＆～Ｑ　≡ＰであってＱでない。
② ～（Ｐ→　Ｑ）≡Ｐならば、Ｑである。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅰ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
１　　　（３）　　　Ｐ　　　　　　１＆Ｅ
　　４　（４）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
１　４　（５）　　　Ｐ＆～Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　４　（６）～（　Ｐ＆～Ｑ）　　１５ＲＡＡ
１　　　（７）　　　　　～Ｑ　　　１＆Ｅ
　　　８（８）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
１　　８（９）　　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　８（ア）～（　Ｐ＆～Ｑ）　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）～（　Ｐ＆～Ｑ）　　２４６８ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　（　Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　～（　Ｐ＆～Ｑ）　　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　２ウＲＡＡ　　
（ⅲ）
１　　　（１）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　２∨Ｉ
１２　　（４）～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　１３＆Ｉ
１　　　（５）　～～Ｐ　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　Ｐ　　　　　　５ＤＮ
　　７　（７）　　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　７　（８）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　７∨Ｉ
１　７　（９）～（～Ｐ∨　Ｑ）＆
　　　　　　　　（～Ｐ∨　Ｑ）　　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　７９ＲＡＡ
１　　　（イ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　６ア＆Ｉ
従って、
（03）により、
（04）
① 　　  Ｐ＆～Ｑ　≡ＰであってＱでない。
③ ～（～Ｐ∨　Ｑ）≡ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① 　　　Ｐ＆～Ｑ　≡ＰであってＱでない。
② ～（　Ｐ→　Ｑ）≡Ｐならば、Ｑである。といふことはない。
③ ～（～Ｐ∨　Ｑ）≡ＰでないかＱである。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（substitution）」を行ふと、
① 　　　Ｐ＆　Ｑ　≡ＰであってＱである。
② ～（　Ｐ→～Ｑ）≡Ｐならば、Ｑでない。といふことはない。
③ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡ＰでないかＱでない。といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）≡ＰであってＱである。といふことはない。
② 　　Ｐ→～Ｑ　≡Ｐならば、Ｑでない。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　≡ＰでないかＱでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（08）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）≡ＰであってＱである。といふことはない。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　≡ＰでないかＱでない。
に於いて、
①＝③ といふ「等式」は、「ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（09）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）≡ＰであってＱである。といふことはない。
② 　　Ｐ→～Ｑ　≡Ｐならば、Ｑでない。
③ 　～Ｐ∨～Ｑ　≡ＰでないかＱでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
といふ「等式」に対しては、「ド・モルガンの法則」のやうな、「・・・・・の法則」といふ「名前」が、無い。

（381）「背理法（ＲＡＡ）」について。

（01）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）
１２＿（６）　　～～Ｑ　３５背理法（ＲＡＡ）
１２＿（７）　　　　Ｑ　６ＤＮ
（ⅱ）
１＿３（６）　～Ｐ　　　２５背理法（ＲＡＡ）
（ⅲ）
＿２３（６）～（Ｐ→Ｑ）１３背理法（ＲＡＡ）
といふ、「３通りのＲＡＡ」が、成立する。
従って、
（01）（02）により、
（03）
「背理法（ＲＡＡ）」により、
① Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ，～Ｑ├ ～Ｐ
③ Ｐ，～Ｑ├ ～（Ｐ→Ｑ）
といふ「連式」、すなはち、
① ＰならばＱである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
② ＰならばＱである。然るに、Ｑでない。故に、Ｐでない。
③ ＰであってＱでない。故に、ＰならばＱである。といふことはない。
といふ「連式」が、「証明」できる。
然るに、
（04）
① ＰならばＱである。然るに、Ｐである。故に、Ｑである。
② ＰならばＱである。然るに、Ｑでない。故に、Ｐでない。
といふ有名な「連式（ＭＰＰとＭＴＴ）」は、明らかに、「妥当」である。
然るに、
（05）
③ ＰであってＱでない。
といふのであれば、
③ ＰならばＱである。といふことはない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（01）～（05）により、
（06）
（ⅰ）
１　　（１）　　Ｐ→Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　Ａ
　　３（３）　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ
といふ「計算の続き」として、「背理法（ＲＡＡ）」により、
① Ｐ→Ｑ，　Ｐ├ Ｑ
② Ｐ→Ｑ，～Ｑ├ ～Ｐ
③ Ｐ，～Ｑ├ ～（Ｐ→Ｑ）
といふ「３つの連式」が「証明」でき、これらは、明らかに「妥当」である。