（01）
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（01）により、
（02）
① 象は鼻が長い。
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
に於いて、
① の「否定」は、② であり、
② の「否定」は、① である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １量化子の関係
３ （３） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ Ａ
４ （４） ～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４含意の定義
３４ （６） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝＆
｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ３５＆Ｉ
３ （７） ～｛～象ａ∨∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ ４６ＲＡＡ
３ （８） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ７ド・モルガンの法則
３ （９） 象ａ ８＆Ｅ
３ （ア） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ８＆Ｅ
３ （イ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア、ド・モルガンの法則
３ （ウ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ含意の定義
エ （エ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
３ エ （オ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウエＭＰＰ
３ エ （カ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） オ量化子の関係
キ （キ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
ク（ク） 鼻ｂａ∨～長ｂ Ａ
ク（ケ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ク、含意の定義
キク（コ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ）＆
（～鼻ｂａ→～長ｂ） キケ＆Ｉ
キ （サ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） クコＲＡＡ
キ （シ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ サ、ド・モルガンの法則
キ （ス） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シＥＩ
３ エ （セ） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） カキスＥＥ
３ （ソ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） エセＣＰ
３ （タ） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ９ソ＆Ｉ
３ （チ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ タＥＩ
１ （ツ）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ２３チＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
２ （２） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
２ （３） 象ａ ２＆Ｅ
２ （４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→ ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ２＆Ｅ
５ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
２５ （６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４５ＭＰＰ
７ （７） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
７ （８） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） ～鼻ｂａ→～長ｂ Ａ
９ （ア） 鼻ｂａ∨～長ｂ ９含意の定義
７９ （イ） ～（鼻ｂａ∨～長ｂ）＆
（鼻ｂａ∨～長ｂ） ８ア＆Ｉ
７ （ウ） ～（～鼻ｂａ→～長ｂ） ９イＲＡＡ
７ （エ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウＥＩ
２５ （オ） ∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ） ６７エＥＥ
２５ （カ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） オ量化子の関係
２ （キ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ５カＣＰ
２ （ク） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） キ含意の定義
２ （ケ） ～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ コ、ド・モルガンの法則
２ （コ） 象ａ＆～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ ３ケ＆Ｉ
２ （サ）～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝ コ、ド・モルガンの法則
シ（シ） 象ａ→ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
シ（ス） ～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ シ含意の定義
２ シ（セ）～｛～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］｝＆
～象ａ∨［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］ サス＆Ｉ
２ （ソ） ～｛象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ シセＲＡＡ
２ （タ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＥＩ
１ （チ）∃ｘ～｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ １２タＥＥ
１ （ツ）～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ チ量化子の関係
従って、
（03）により、
（04）
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① 象は鼻が長い。
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝。
において、
① の「否定」は、② であり、
②＝③ である。
従って、
（02）（05）により、
（06）
① 象は鼻が長い。
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝⇔
③ あるｘが象であり、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの、鼻以外であって、長い。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、① である。
然るに、
（07）
③ あるｘが象であり、あるｙがｘの鼻であって、長いならば、あるｚはｘの、鼻以外であって、長い。
といふことは、
③ 象（ｘ）は、鼻（ｙ）は長く、鼻以外（ｚ）も長い。
といふ、ことである。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① 象は、鼻が長い。
③ 象は、鼻は長く、 鼻以外も長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
① の「否定」は、③ であり、
③ の「否定」は、④ である。
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① 象は、鼻が長い。
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
に於いて、
①＝④ である。
然るに、
（10）
④ 象は、鼻は長いが、鼻以外も長い。といふわけではない。
といふことは、
④ 象は、鼻は長く、 鼻以外は長くない。
といふ、ことである。
然るに、
（01）により、
（11）
もう一度、確認すると、
① 象は、鼻が長い。⇔
① 象は、鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
従って、
（05）（10）（11）により、
（12）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝④ でなければ、ならない。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
４ （４） 象ａ＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ ４＆Ｅ
４ （６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４＆Ｅ
１ ４ （７） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ２５ＭＰＰ
１ ４ （８） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ７＆Ｅ
１ ４ （９） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ７＆Ｅ
１ ４ （ア） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ６８ＭＰＰ
１ ４ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ９ＵＥ
ウ（ウ） ～鼻ｂａ＆ 長ｂ Ａ
ウ（エ） ～鼻ｂａ ウ＆Ｅ
ウ（オ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１ ４ウ（カ） ～長ｂ イエＭＰＰ
１ ４ウ（キ） 長ｂ＆～長ｂ オカ＆Ｉ
１ ４ （ク） 長ｂ＆～長ｂ アウキＥＥ
１３ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ３４クＥＥ
１ （コ）～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ ３ケＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１）～∃ｘ｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ Ａ
１ （２）∀ｘ～｛象ｘ＆ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝ １量化子の関係
１ （３） ～｛象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ２ＵＥ
４ （４） ～［象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） Ａ
４ （５） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ４含意の定義
１４ （６） ～｛象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝＆
｛象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） →∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ３５＆Ｉ
１ （７）～｛～［象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］∨∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ）｝ ４６ＲＡＡ
１ （８） 象ａ＆ ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ７ド・モルガンの法則
９ （９） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
９ （ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
１ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ８＆Ｅ
１ ９ （ウ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） アイ＆Ｉ
１ （エ） ～［象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ ９ウＲＡＡ
オ （オ） 象ａ Ａ
カ （カ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
オカ （キ） 象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） オカ＆Ｉ
１ オカ （ク） ～［象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］＆
［象ａ＆～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）］ エキ＆Ｉ
１ オ （ケ） ～～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） カクＲＡＡ
１ オ （コ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ケＤＮ
１ （サ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） オコＣＰ
１ （シ） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） ８＆Ｅ
１ （ス） ∀ｚ～（～鼻ｚａ＆ 長ｚ） シ量化子の関係
１ （セ） ～（～鼻ｂａ＆ 長ｂ） スＵＥ
１ （ソ） 鼻ｂａ∨～長ｂ セ、ド・モルガンの法則
１ （タ） ～鼻ｂａ→～長ｂ ソ含意の定義
１ （チ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） タＵＩ
ツ（ツ） 象ａ Ａ
１ ツ（テ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） サツＭＰＰ
１ ツ（ト） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） チテ＆Ｉ
１ （ナ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ツトＣＰ
１ （ニ） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ナＵＩ
従って、
（13）により、
（14）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
④ あるｘが象であって、あるｙがｘの鼻であって、ｙが長いならば、あるｚが、ｘの、鼻以外であって、長い。といふことはない。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ～∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
④ ～∃ｘ｛象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）｝
に於いて、
①＝④ であり、それ故、「二重否定律（ＤＮ）」により、
②＝③ である。