（01）
①｛象｝であるならば、
① 象は動物である。
然るに、
（02）
②｛象、兎、ライオン｝であるならば、
② 象も動物である。
② 兎も動物である。
② ライオンも動物である。
然るに、
（03）
③｛象、机、パソコン｝であるならば、
③ 象が動物である。
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
① 象は動物である＝象は動物である。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外（兎、ライオン）も動物である。
③ 象が動物である＝象は動物であり、象以外（机、パソコン）は動物でない。
従って、
（04）により、
（05）
① 象は動物である＝象は動物である。
② 象も動物である＝象は動物である＋象以外も動物である。
③ 象が動物である＝象は動物である＋象以外は動物でない。
に於いて、
①と②は、「矛盾」せず、
①と③も、「矛盾」せず、
②と③は、「矛盾」する。
従って、
（05）により、
（06）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象も動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
③ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
に於いて、
①と②は、「矛盾」せず、
①と③も、「矛盾」せず、
②と③は、「矛盾」する。
然るに、
（07）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） ～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） １＆
４ （４） ～象ａ＆動物ａ Ａ
４ （５） ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ４ＥＩ
１４ （６） ～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）＆
∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ３５＆Ｉ
１ （７） ～（～象ａ＆動物ａ） ４６ＲＡＡ
１ （８） 象ａ∨～動物ａ ７ド・モルガンの法則
９ （９） 象ａ Ａ
９ （ア） ～～象ａ ９ＤＮ
９ （イ） ～～象ａ∨～動物ａ ア∨Ｉ
ウ（ウ） ～動物ａ Ａ
ウ（エ） ～～象ａ∨～動物ａ ウ∨Ｉ
１ （オ） ～～象ａ∨～動物ａ ８９イウエ∨Ｅ
１ （カ） ～象ａ→～動物ａ オ含意の定義
１ （キ） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） カＵＩ
１ （ク）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ２キ＆Ｉ
（ⅳ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ２キ＆Ｉ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１ （４） ～象ａ→～動物ａ ３ＵＥ
１ （５） ～～象ａ∨～動物ａ ４含意の定義
１ （６） ～（～象ａ＆動物ａ） ５ド・モルガンの法則
７ （７） ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） Ａ
８ （８） ～象ａ＆動物ａ Ａ
１ ８ （９） ～（～象ａ＆動物ａ）＆
（～象ａ＆動物ａ） ６８＆Ｉ
１７ （ア） ～（～象ａ＆動物ａ）＆
（～象ａ＆動物ａ） ７８９ＥＥ
１ （イ） ～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ７アＲＡＡ
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ） ２イ＆Ｉ
（08）
（ⅳ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１（３） 象ａ→動物ａ ２ＵＥ
１（４） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） １＆Ｅ
１（５） ～象ａ→～動物ａ ４ＵＥ
１（６） 象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ） ６ＵＩ
（ⅴ）
１（１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２） 象ａ→動物ａ＆～象ａ→～動物ａ １ＵＥ
１（３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１（４）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３ＵＩ
１（５） ～象ａ→～動物ａ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ５ＵＩ
１（７）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ） ４６＆Ｉ
従って、
（07）（08）により、
（09）
③ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
④ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）。
⑤ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ）。
に於いて、
③＝④＝⑤ である。
然るに、
（10）
（ⅵ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～（～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
５（５） 象ａ∨～動物ａ Ａ
５（６） ～象ａ→～動物ａ ５含意の定義
１５（７） ～（～象ａ→～動物ａ）＆
（～象ａ→～動物ａ） ４６＆Ｉ
１ （８） ～（象ａ∨～動物ａ） ５７ＲＡＡ
１ （９） ～象ａ＆ 動物ａ ８ド・モルガンの法則
１ （ア） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ９ＥＩ
１ （イ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） ３アＵＩ
１ （ウ）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ａ＆ 動物ａ） アイ＆Ｉ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） １＆Ｅ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２ＵＥ
１ （４） ∃ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） １＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６（６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
５６（８） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
６（９） 動物ａ ５＆Ｅ
５６（ア） ～動物ａ＆動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１５ （ウ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３イ＆Ｉ
１５ （エ） ∀ｘ｛象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ）｝ ウＵＩ（は、違反である。）
従って、
（10）により、
（11）
② 象も動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
⑥ 象＿動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝。
に於いて、
⑥ ならば、② であるが、
② ならば、⑥ ではない。
従って、
（06）（09）（11）により、
（12）
① 象は動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）。
② 象も動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
③ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆～∃ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）。
④ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）。
⑤ 象が動物である≡∀ｘ（象ｘ→動物ｘ ＆ ～象ｘ→～動物ｘ）。
⑥ 象＿動物である≡∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝。
に於いて、すなはち、
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物である（象は動物である）。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘは象ではなくて、動物である（象も動物である）。
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｘが象ではなくて、動物である、といふことはない（象が動物である）。
④ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘについて、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない（象が動物である）。
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない（象が動物である）。
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが象でないならば、ｘは動物ではない、といふことはない（象＿動物である）。
に於いて、
①「象は」は、どれとも、「矛盾」しない。
②「象も」と「象が」は、「矛盾」する。
③「象が」と、
④「象が」と、
⑤「象が」は、「同じ（等値）」である。
⑥ ならば、② であるが、② ならば、⑥ ではない。