@048【余弦定理の証明】
△ABCにおいて、
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=c^2+a^2-2cacosB
c^2=a^2+b^2-2abcosC
証明方法としては、
角Aを①鋭角②直角③鈍角の場合分けして示すことが多い。
なかなか覚えられない。
鈍角への三角比の拡張と二点間の距離の公式を利用すれば、場合分けすることなく、示すことができる。
【証明】
A(0,0), B(c,0)と座標を考えると、
C(bcosA,bsinA)
a^2=BC^2
=(bcosA-c)^2+(bsinA)^2
=(bcosA)^2-2bccosA+c^2+(bsinA)^2
=b^2{(sinA)^2+(cosA)^2}+c^2-2bccosA
=b^2+c^2-2bccosA
【証明終】
「余弦定理」→数学Ⅰ
「二点間の距離の公式」→数学Ⅱ
で学習する。
だから数学Ⅱの内容である「二点間の距離の公式」を利用せずに、場合分けで証明している。
二点間の距離の公式は中学校で学ぶ三平方の定理を利用すれば示すことができるので、投げ込み教材として学習した後で余弦定理の証明に利用すればいい。
また、数学Ⅱを学習した後に振り返るタイミングがあるといいかも知れない。
(2021/8/22)
