大人の数学教室119(関数⑥)

【第6章】

(6)平方完成①

ax^2+bx+c の形を、a(x+h)^2+k の形に変形することを「平方完成」という。

y=ax^2+bx+cをy=a(x-p)^2+qの形に変形することでグラフの様子が分かる。

a(x+h)^2+k=ax^2+2ahx+ah^2+k

係数を比較して

2ah=b→h=b/(2a)

ah^2+k=c

→k=-b^2/(4a)+c=-(b^2-4ac)/(4a)

例)x^2+4x+1

(x+h)^2+k=x^2+2hx+h^2+k

よって、

2h=4→h=2

h^2+k=1→k=1-h^2=1-4=-3

x^2+4x+1=(x+2)^2-3

例)2x^2-5x+1

2(x+h)^2+k=2x^2+4hx+2h^2+k

よって、

4h=-5→h=-5/4

2h^2+k=1→k=1-2h^2=1-25/8=-17/8

2x^2-5x+1=2(x-5/4)^2-17/8