大人の数学教室120(関数⑦)

【第7章】

(7)平方完成②

ax^2+bx+cの平方完成

(i)step1→a=1,b=2Bとする。

x^2+2B+c=x^2+2B+B^2-B^2+c

=(x+B)^2-B^2+c

(point bの半分Bの2乗を足して引く)

例)x^2+6x+8=x^2+6x+(6/2)^2+(6/2)^2+2

=x^2+6x+9-9+8

=(x-3)^2-1

例)x^2-3x+1=x^2-3x+(3/2)^2-(3/2)^2+1

=(x-3/2)^2-9/4+1

=(x-3/2)^2-5/4

(ii)step2

①aでax^2+bxまでくくる。

ax^2+bx+c=a{x^2+(b/a)x}+c

②{ }の中でstep1を使う。

x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2-{b/(2a)}^2

={x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a^2)

③①に代入

ax^2+bx+c

=a{{x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a^2)}+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a)+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-(b^2-4ac)/(4a)

y=ax^2+bx+c

=a{x^2+(b/a)x}+c

=a{x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2-{b/(2a)}^2}+c

=a{x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2}-b^2/(4a)+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-(b^2-4ac)/(4a)

例)2x^2+4x+3

=2(x^2+2x)+3

=2(x^2+2x+1-1)+3

=2(x^2+2x+1)-2+3

=2(x+1)^2+1