大人の数学教室141(三角比⑯)

【第16章】

(16)三角形の面積①

△ABC の面積をS とする。

頂点C から直線ABに垂線を引き、直線ABとの交点をD とする。CD=AC×sinA が△ABCの高さになる。

S=½×AB×AC×sinA=½bc×sinA

同様にして

S=½bc×sinA=½ca×sinB=½ab×sinC

(2辺とそのはさむ角→面積)

正弦定理よりsinA=a/(2R) だから、

S=(abc)/(4R)

(3辺と外接円の半径→面積)

正弦定理よりb=2R×sinB, c=2R×sinC

S=2R^2×sinA×sinB×sinC

(3角と外接円の半径→面積)

例)a=4, c=3, A=120°, C=30°のとき、面積Sを求めよ。

B=180°-(120°+30°)=30°

S=½×3×4×cos30°=6×√3/2=3√3

(aとcのはさむ角はB)