大人の数学教室140(三角比⑮)

【第15章】

(15)最大角と最大辺

△ABCにおいて、

最大辺の対角が最大角である。

最大角の対辺が最大辺である。

a≧b ⇔ A≧B を示す。

【証明】

余弦定理より、

2abc(cosA-cosB)

=a(b^2+c^2-a^2)-b(c^2+a^2-b^2)

=(a-b)c^2+a(b^2-a^2)+b(b^2-a^2)

=(a-b)c^2-(a+b)(a^2-b^2)

=(a-b)c^2-(a-b)(a+b)^2

=(a-b){c^2-(a+b)^2}

=(a-b)(a+b+c){c-(a+b)}

a＞0, b＞0, c＞0 で、c＜a+b だから、

a≧b

⇔ (a-b)(a+b+c){c-(a+b)}≦0

⇔2abc(cosA-cosB)≦0

⇔ cosA≦cosB

⇔ A≧B

最大辺の対角が鋭角のときは鋭角三角形

例)a=7, b=5, c=8のとき

cosC=(7^2+5^2-8^2)/(2×7×5)

=(49+25-64)/70=1/7＞0

最大角Cは鋭角だから、

△ABCは鋭角三角形

最大角の余弦(cos)を求めることで、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形が分かる。