（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｅ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） １４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２８＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨ Ｑ ≡不Ｐ如Ｑ。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「ド・モルガンの法則」といふ。
然るに、
（03）
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
③ Ｐ→ Ｑ ≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
②＝③ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅰ）」とする。
然るに、
（02）（04）により、
（05）
① ～Ｐ∨ Ｑ ≡不Ｐ如Ｑ。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡無Ｐ而不Ｑ。
③ Ｐ→ Ｑ ≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① ～Ｐ∨ Ｑ ≡不Ｐ如Ｑ。
③ Ｐ→ Ｑ ≡如Ｐ則Ｑ。
に於いて、
①＝③ であって、この「等式」を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（04）（06）により、
（07）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「等式」に於いて、
① を「含意の定義（Ⅰ）」とし、
② を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（07）により、
（08）
① ＰならばＱである≡Ｐであって、Ｑでない。といふことはない（無Ｐ而不Ｑ）。
② ＰならばＱである≡Ｐであるか、Ｑである（不Ｐ如Ｑ）。
① を「含意の定義（Ⅰ）」とし、
② を「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（03）（05）により、
（09）
因みに言ふと、例へば、
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
といふ「計算」は、
（ⅲ）
１ （１） 如Ｐ則 Ｑ Ａ
２（２） Ｐ而不Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） 不Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） 不Ｑ而Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）無（Ｐ而不Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （〃）Ｐにして、Ｑならざるは無し。
といふ「計算」に「等しい」。
従って、
（09）により、
（10）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「漢文（kanbun）」で行ふことが、出来る。
然るに、
（11）
① （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ「式」は、「交換法則」と「含意の定義（Ⅰ、Ⅱ）」により、
① （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
② （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
③（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
④ （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ風に、「書き換へる」ことが、出来る。
従って、
（12）
② （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
といふ「式」は、「含意の定義（Ⅰ、Ⅱ）」と「交換法則」により、
① （（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
③ （（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ）→Ｐ
④ （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ風に、「書き換へる」ことが、出来る。
従って、
（11）（12）により、
（13）
「正式な計算」をするまでもなく、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、予め、「確定」である。
然るに、
（15）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
８ （８） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２８ （９） Ｐ ７８ＭＰＰ
２ （ア） ～Ｐ ５＆Ｅ
２８ （イ） Ｐ＆～Ｐ ８９＆Ｉ
２ （ウ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ８イＲＡＡ
２ （エ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ウ∨Ｉ
オ（オ） Ｐ Ａ
オ（カ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ オ∨Ｉ
１ （キ） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ ２３エオカ∨Ｅ
１ （ク） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ キ含意の定義（Ⅱ）
（ⅱ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
従って、
（15）により、
（16）
「正式な計算」によっても、果たして、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
「命題計算の暗算」が得意な人物がゐるとしたら、その人から見れば、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡ （Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことは、「一目瞭然」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（18）
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
①＝② であって、尚且つ、
①（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である以上、
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふことも、「当然」である。
然るに、
（20）
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題Ｐ, Ｑについて、
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）
といふ「記事」を読んだ際の、私自身は、その時はまだ、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡ （Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふ「計算」を、行ってはゐなかった。
従って、
（21）
（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
が成り立つ
『「ＰならばＱ」ならばＰ』ならばＰ
なんか、パズルのような命題ですね。
と言はれてみると、確かに、さうであると、その時は、思へたのの、今の私は、自分で「計算」をしてみて、
①（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ≡ （Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
② （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ≡（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
に於いて、
①＝② である。
といふことを知ってゐる。
従って、
（20）（21）により、
（22）
私としては、（排中律、二重否定の除去、パースの法則 - Qiita）のオーナーの方に対して、「パースの法則は、少しも変ではない。」といふ風に、言はせて、貰いたい。
（23）
私としては、「パースの法則」そのものよりも、むしろ、「排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつとして」といふ「言ひ方」の方が「変」なのではといふ風に、思へて、ならない。
（01）
７ 実際上、われわれの規則ＤＮはつぎの２つの規則が結合したものである。
（ⅰ）Ａから～～Ａを導出すること、そして、
（ⅱ）～～ＡからＡを導出すること、
（ⅰ）は他の原始的規則から導出されることを示せ（規則ＭＴＴ、すなわち連式５５、対する、これに対応する証明を参照せよ）。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、８１頁）
（02）
〔解答〕
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
１２（３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
ｃｆ.
ただし、「E.J.レモン、論理学初歩」には、「練習問題の解答」は、載ってゐません。
然るに、
（03）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（02）（03）により、
（04）
① Ｐ→～～Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
１ （１） Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
６（６） ～～～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ ５６ＭＴＴ
（８）～～～Ｐ→～Ｐ ６７ＣＰ
従って、
（03）（05）により、
（06）
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（06）により、
（07）
任意の命題Ｐは、
Ｐ＝真 であるか、
Ｐ＝偽 であるか、いづれかであり、尚且つ、
② ～真＝偽 であって、
② ～偽＝真 である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことは、
② ～～偽→偽
② ～～真→真
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（09）
任意の命題Ｐは、
Ｐ＝真 であるか、
Ｐ＝偽 であるか、いづれかであり、尚且つ、
② ～～偽→偽
② ～～真→真
といふことは、
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」が、「恒真式（トートロジー）」である。
といふ、ことである。
従って、
（04）（09）により、
（10）
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式」を、「二重否定の除去」といふ。
従って、
（10）（11）により、
（12）
"「Ｐではない」ではないならば、Ｐである"
つまり、否定を～で表すと「～～ＰならばＰ」だと言ってます。
……何か問題が?
けどこれ「二重否定の除去」といって、成り立つことが示せないんですよ（@gyu-don）。
といふことには、ならない。
然るに、
（13）
①（（（Ａであると）Ｂが言ったと）Ｃが言ったと）Ｄが言った。
といふ「再帰表現（recursion）」が「本当」」であるならば、
② Ｄは（（（Ａであると）Ｂが言ったと）Ｃが言ったと）言ったことになり、
③ Ｃは （（Ａであると）Ｂが言ったと）言ったことになり、
④ Ｂは （Ａであると）言ったことになる。
ｃｆ.
ピダハン 謎の言語を操るアマゾンの民｜地球ドラマチック（ＮＨＫ、2014.08.16）
従って、
（13）により、
（14）
①（（（Ａであると）Ｂが言ったのウソであると）Ｃが言ったのはウソであると）Ｄが言ったのはウソである。
といふ「再帰表現（recursion）」も、
②（（（Ａである。）はウソである。）はウソである。）はウソである。
といふ「構造」をしてゐる、ことになる。
従って、
（14）により、
（15）
② ～～～Ｐ≡Ｐでない。ではない。ではない。
といふ「命題」も、
② ～（～（～（Ｐ）））≡（（（Ｐ）でない。）ではない。）ではない。
といふ「構造」をしてゐる、ことになる。
従って、
（05）（15）により、
（16）
１ （１） Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
１２ （３） Ｐ＆～Ｐ １２＆Ｉ
１ （４）～～Ｐ ２３ＲＡＡ
（５） Ｐ→～～Ｐ １４ＣＰ
６（６） ～～～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ ５６ＭＴＴ
（８）～～～Ｐ→～Ｐ ６７ＣＰ
といふ「計算」は、
１ （１） （Ｐ） Ａ
２ （２） ～（Ｐ） Ａ
１２ （３） （Ｐ）＆～（Ｐ） １２＆Ｉ
１ （４）～（～（Ｐ）） ２３ＲＡＡ
（５） （Ｐ）→～（～（Ｐ）） １４ＣＰ
６（６） ～（～（～（Ｐ））） Ａ
６（７） ～（Ｐ） ５６ＭＴＴ
（８）～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ） ６７ＣＰ
と書くのが、「正しい」。
然るに、
（17）
一々、
② ～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）
と書くのは、「面倒で、カナハナイ」。
従って、
（18）
実際には、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
としか書かないものの、
② ～（～（～（Ｐ）））→～（Ｐ）
といふ「式」を、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
と書くのであれば、
② ～～～Ｐ→～Ｐ
といふ「式」は、
② ～～（～Ｐ）→（～Ｐ）
といふ風に、書いても良い。
といふ、ことになる。
然るに、
（19）
１ 代入の規則
一つの恒真式のなかの命題変項を他の命題変項、または論理式でおきかえることによって得られた式は同じく恒真式である。
（沢田允、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
従って、
（06）（18）（19）により、
（20）
② ～～（～Ｐ）→（～Ｐ）
に於いて、
（～Ｐ）＝Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式（二重否定の除去）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（04）（10）（20）により、
（21）
いづれにせよ、
① Ｐ→～～Ｐ
② ～～Ｐ→Ｐ
といふ「式（ＤＮ）」は、両方とも、「恒真式（トートロジー）」である。
（01）
（ⅰ）Ｐ→Ｑ├ ～（Ｐ＆～Ｑ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２（２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
２（４） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２（５） Ｑ １３ＭＰＰ
１２（６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）～（Ｐ＆～Ｑ）├ Ｐ→Ｑ
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ ≡Ｐならば、 Ｑである（如Ｐ則Ｑ）。
② ～（Ｐ＆～Ｑ）≡Ｐであって、Ｑでない。といふことはない（無Ｐ而不Ｑ）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を、「含意の定義（Ⅰ）」とする。
然るに、
（03）
（ⅲ）Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅳ）～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ Ａ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１ （ウ） Ｐ→ Ｑ イ含意の定義（Ⅰ）
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ→Ｑ≡Ｐならば、 Ｑである（如Ｐ則Ｑ）。
④ ～Ｐ∨Ｑ≡Ｐでないか、Ｑである（不Ｐ如Ｑ）。
に於いて、
③＝④ であって、この「等式」を、「含意の定義（Ⅱ）」とする。
従って、
（02）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡ ～Ｐ∨ Ｑ
といふ「等式」に於いて、
① は、「含意の定義（Ⅰ）」であって、
② は、「含意の定義（Ⅱ）」である。
ｃｆ.
「上田泰治、論理学、1967年、８６頁」を見ると、「①と②」は、まとめて、「含意の定義」とされてゐる。
然るに、
（06）
① Ｐ→Ｑ≡～（Ｐ＆～Ｑ）
② Ｐ→Ｑ≡ ～Ｐ∨ Ｑ
であるならば、
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡～Ｐ∨Ｑ
であるものの、
③ は、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
「含意の定義（Ⅰ・Ⅱ）」は、「ド・モルガンの法則」を介して、成立する。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ→ Ｑ） ２含意の定義（Ⅰ）
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６） ～～（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義（Ⅱ）
７ （７） ～～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
７ （８） Ｐ＆～Ｑ ７ＤＮ
７ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ ６７９アア∨Ｅ
（ウ）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １イＣＰ
（〃）（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰ。
然るに、
（09）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（11）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３（４） Ｐ ３＆Ｅ
１ （５） Ｐ １２２３４∨Ｅ
（６）（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ １５ＣＰ
従って、
（10）（11）により、
（12）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１） （（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）→Ｐ Ａ
１ （２） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
３ （３） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） Ａ
４ （４） ～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） Ａ
４ （５） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ ４含意の定義（Ⅰ）
３４ （６） ～（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ）＆
（（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ） ３５＆Ｉ
３ （７）～～（（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ４６ＲＡＡ
３ （８） （（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ） ６ＤＮ
３ （９） Ｐ→ Ｑ ８＆Ｅ
３ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ９含意の定義（Ⅰ）
３ （イ） ～Ｐ ８＆Ｅ
３ （ウ） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） アイ＆Ｉ
３ （エ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） ウ、ド・モルガンの法則
３ （オ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ エ∨Ｉ
カ（カ） Ｐ Ａ
カ（キ） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ カ∨Ｉ
１ （ク） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １３オカキ∨Ｅ
１ （ケ） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ ク含意の定義（Ⅱ）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ Ａ
１ （２） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））∨Ｐ １含意の定義（Ⅱ）
２ （３） ～（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ）） Ａ
２ （４） ～Ｐ＆～（Ｐ＆～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ４交換法則
２ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ５＆Ｅ
２ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義（Ⅰ）
２ （８） ～Ｐ ５＆Ｅ
２ （９） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ７８＆Ｉ
ア （ア） （Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ Ａ
２ （イ） （Ｐ→ Ｑ） ９＆Ｅ
２ア （ウ） Ｐ アイＭＰＰ
２ （エ） ～Ｐ ９＆Ｅ
２ア （オ） Ｐ＆～Ｐ ウエ＆Ｉ
２ （カ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ） アオＲＡＡ
２ （キ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ カ∨Ｉ
ク（ク） Ｐ Ａ
ク（ケ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ ク∨Ｉ
１ （コ） ～（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）∨Ｐ １２キクケ∨Ｅ
１ （サ） （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ コ含意の定義（Ⅱ）
従って、
（13）により、
（14）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
といふ「論理式」に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「日本語」に於いて、
①＝② である。
然るに、
（16）
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））
といふのであれば、いづれにせよ、
② Ｐである。
従って、
（15）（16）により、
（17）
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（15）（16）（17）により、
（18）
②（Ｐ∨（Ｐ＆～Ｑ））→Ｐ
②（Ｐであるか、または（Ｐであって、Ｑでない））ならばＰである。
といふ「命題」と、「等価」である所の、
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
といふ「パースの法則」は、「普通の命題」である。