（01）
―「前回（2020年2月23日）」は、「代入」で求めたものの、「今回」は、「直接、計算」する。―
（ⅰ）
１ （１） ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２３ （４） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
８ （９） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ８∨Ｉ
２ ８ （ア） ～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝＆
（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ＲＡＡ
ウ （ウ） ～（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
エ （エ） Ｑ Ａ
エ （オ） Ｑ∨ Ｒ エ∨Ｉ
ウエ （カ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） イオ＆Ｉ
ウ （キ） ～Ｑ エカＲＡＡ
ク（ク） Ｒ Ａ
ク（ケ） Ｑ∨ Ｒ ク∨Ｉ
ウ ク（コ） ～（ Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｑ∨ Ｒ） ウケ＆
ウ （サ） ～Ｒ クコＲＡＡ
ウ （シ） ～Ｑ＆～Ｒ キサ＆Ｉ
２ ウ （ス） ～（～Ｑ＆～Ｒ）＆
（～Ｑ＆～Ｒ） イシ＆Ｉ
２ （セ） ～～（ Ｑ∨ Ｒ） ウスＲＡＡ
２ （ソ） （ Ｑ∨ Ｒ） セＤＮ
２ （タ） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） ７ソ＆Ｉ
１２ （チ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝＆
｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １タ＆Ｉ
１ （ツ）～～（～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）｝ ２チＲＡＡ
１ （テ） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ツＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
２ （７） Ｑ∨ Ｒ ２＆Ｅ
８ （８） ～Ｑ＆～Ｒ Ａ
９ （９） Ｑ Ａ
８ （ア） ～Ｑ ８＆Ｅ
８９ （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８イＲＡＡ
エ （エ） Ｒ Ａ
８ （オ） ～Ｒ ８＆Ｅ
８ エ （カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
エ （キ） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ８カＲＡＡ
２ （ク） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ７９ウエキ∨Ｅ
２ ８ （ケ） （～Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｑ＆～Ｒ） ８ク＆Ｉ
８ （コ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～｛Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝ １３６８コ∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
「演算子」としての「＆」と、
「演算子」としての「∨」の「結合力」は「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④
でなければ、ならない。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１（１）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
（ⅳ）
１（１） （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１（２） （～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
に於いて、
①＝② であるならば、果たして、
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
① ～｛ Ｐ＆（ Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛ Ｐ＆（ ～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（～～Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆ ～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨～～Ｑ）＆～Ｒ
従って、
（08）により、
（09）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① ～｛ Ｐ＆（～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（ Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」は、例へば、
① ～｛ Ｐ＆（～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（ Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｒ
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（11）
「君子不以其所以養人者害人」と「その対偶」の「述語論理」（2020年2月23日）。でも書いたものの、
あるいは、探し方が悪いのかもしれませんが、
① ～｛ Ｐ＆（～Ｑ∨ Ｒ）｝
② ～Ｐ∨（ Ｑ＆～Ｒ）
③ ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｒ｝
④ （～Ｐ∨ Ｑ）＆～Ｒ
のやうに、「連言（＆）と選言（∨）」が混在する場合の「ド・モルガンの法則」に関する「説明」は、少なくとも、「グーグルの１ページ目」では、見付けることが出来ません。
（01）
（ａ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
２３ （６） （～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９（９） ～Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
２ ９（イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２ア＆Ｉ
２ （ウ） ～～Ｑ ９イＲＡＡ
２ （エ） Ｑ ウＤＮ
２ （オ） Ｐ＆ Ｑ ８エ＆Ｉ
１２ （カ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ）
１ （キ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２カＲＡＡ
１ （ク） ～Ｐ∨～Ｑ キＤＮ
（ｂ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ４∨Ｉ
２３ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２５＆Ｉ
２ （７） ～～Ｐ ３ＲＡＡ
２ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
２ ９ （ウ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２イ＆Ｉ
２ （エ） ～～Ｑ ９ウＲＡＡ
２ （オ） Ｑ エＤＮ
カ（カ） ～Ｒ Ａ
カ（キ） ～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
カ（ク） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
２ カ（ケ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２ク＆Ｉ
２ （コ） ～～Ｒ カケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ） Ｐ＆ Ｑ ８オ＆Ｉ
２ （ス） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ サシ＆Ｉ
１２ （セ） ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ス＆Ｉ
１ （ソ）～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２セＲＡＡ
１ （タ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ソＤＮ
（02）
（ｃ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ｄ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２９ＲＡＡ
イ（イ） ～Ｒ Ａ
２ （ウ） Ｒ ２＆Ｅ
２ イ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆
イ（オ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ２エＲＡＡ
１ （カ）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １３６７アイオ∨Ｅ
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
（04）
（ｅ）
１ （１）～（Ｐ∨Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（Ｐ∨Ｑ）＆
（Ｐ∨Ｑ） １６＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア）～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ｆ）
１ （１） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ
１２ （５） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～Ｐ ２ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
７ （８） Ｐ∨Ｑ ７∨Ｉ
７ （９） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ８∨Ｉ
１ ７ （ア） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １９＆Ｉ
１ （イ） ～Ｑ ７アＲＡＡ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
ウ（エ） Ｑ∨Ｒ ウ∨Ｉ
ウ（オ） Ｐ∨Ｑ∨Ｒ エ∨Ｉ
１ ウ（カ） ～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）＆
（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （キ） ～Ｒ ウカＲＡＡ
１ （ク）～Ｐ＆～Ｑ ６イ＆Ｉ
１ （ケ）～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ キク＆Ｉ
（05）
（ｇ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８（８） Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア）～（～Ｐ＆～Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ） ～（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ｈ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （４） Ｐ Ａ
１ ４ （５） ～Ｐ＆ Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １５ＲＡＡ
１ （７） ～Ｑ １＆Ｅ
８ （８） Ｑ Ａ
１ ８ （９） Ｑ＆～Ｑ Ａ
８ （ア）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １９ＲＡＡ
１ （イ） ～Ｒ １＆Ｅ
ウ（ウ） Ｒ Ａ
１ ウ（エ） ～Ｒ＆Ｒ イウ＆Ｉ
ウ（オ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １エＲＡＡ
２ （カ）～（～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ） １３６８アウオイウ∨Ｅ
従って、
（04）（05）により、
（06）
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
従って、
（03）（06）により、
（07）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式（ド・モルガンの法則）」が、成立する。
然るに、
（01）（02）（04）（05）により、
（08）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
といふ「等式」と、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式」は、「計算」としては、「命題の数」が、一方は「２つ」で、一方が「３つ」であるといふことに、過ぎない。
従って、
（09）
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
といふ「等式」が成立する以上、当然、
（ⅰ）～（Ｐ＆Ｑ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ） ⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
（〃）～（Ｐ＆Ｑ＆Ｒ＆Ｓ）⇔ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
（ⅱ）～（Ｐ∨Ｑ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ） ⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ
（〃）～（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ）⇔ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｑ＆～Ｓ
といふ「等式」が成立する。
然るに、
（10）
右の「等式」は、
（ⅰ）～（０＆１） ⇔ ～０∨～１
（〃）～（０＆１＆２） ⇔ ～０∨～１∨～２
（〃）～（０＆１＆２＆３）⇔ ～０∨～１∨～２∨～３
（ⅱ）～（０∨１） ⇔ ～０＆～１
（〃）～（０∨１∨２） ⇔ ～０＆～１＆～２
（〃）～（０∨１∨２∨３）⇔ ～０＆～１＆～２＆～３
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「ド・モルガンの法則」は、「（２以上の）自然数」と「同じ個数（無限個）」の「命題」に於いても、成立する。
ｃｆ.
数学的帰納法（mathematical induction）。
然るに、
（12）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） ～Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨～Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ ～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） ～Ｑ Ａ
２ （８） ～～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） ～Ｑ＆～～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～～Ｑ）＆
（Ｐ＆～～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） ～Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ ～Ｑ ウクＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
① Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）により、
（14）
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
① Ｐ→～Ｑ
② ～Ｐ∨～Ｑ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
① Ｐ→～～Ｑ
② ～Ｐ∨～～Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（17）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ であるが、
①＝② を称して、「含意の定義」といひ、
①＝③ を称して、「含意の定義」といふ。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆ Ｑ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｒ ４∨Ｉ
６（６） Ｒ Ａ
６（７） ～Ｑ ∨Ｒ ６∨Ｉ
６（８） ～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ∨Ｒ ２３５６８∨Ｅ
１ （ア）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ ９結合法則
（ⅱ）
１ （１）（～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ Ａ
２ （２）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （３）～（Ｐ＆ Ｑ） ３ド・モルガンの法則
２ （４）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ ３∨Ｉ
５（５） Ｒ Ａ
５（６）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ ５∨Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆ Ｑ）∨Ｒ １２４５６∨Ｅ
１ （８） （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ ７含意の定義
従って、
（18）により、
（19）
① （Ｐ＆ Ｑ）→Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨Ｒ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（20）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ Ａ
２ （２） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ Ａ
２ （３） （Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１２ （４） Ｒ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｒ＆～Ｒ ４５＆Ｉ
１ （７）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝ ２６ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝ Ａ
１ （２） ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ １ド・モルガンの法則
１ （３） （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ ２含意の定義
従って、
（20）により、
（21）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（19）（21）により、
（22）
① （Ｐ＆ Ｑ）→ Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（23）
「同じこと」なので、敢へて、一つだけ「計算」すると、
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）→Ｓ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）∨Ｓ １含意の定義
３ （３）～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ４∨Ｉ
６（６） Ｓ Ａ
６（７） ～Ｑ ∨Ｓ ６∨Ｉ
６（８） ～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ７∨Ｉ
６（９） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ８∨Ｉ
１ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ∨Ｓ ２３５６９∨Ｅ
１ （イ）（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨Ｓ ア結合法則
従って、
（17）（22）（23）により、
（24）
① （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）→ Ｓ
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨ Ｓ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆～Ｓ｝
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（25）
① （Ｐ＆ Ｑ）→ Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であること覚えてゐれば、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝②＝③ ことも、
① （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）→ Ｓ
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨ Ｓ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆～Ｓ｝
に於いて、
①＝②＝③ であることも、両方とも、思ひだすことが、出来る。
然るに、
（26）
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふと、
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
然るに、
（27）
「ド・モルガンの法則」により、
② ～（Ｐ＆Ｑ）＝（～Ｐ∨～Ｑ）
であるため、
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｒ
② ～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ｝
であるならば、
① （Ｐ＆ Ｑ）→ Ｒ
② （～Ｐ∨～Ｑ）∨ Ｒ
③ ～｛（Ｐ＆ Ｑ）＆～Ｒ｝
である。
従って、
（01）～（27）により、
（28）
以上に於いて、「計算ミス」は無い。
然るに、
（29）
「命題計算（Propositional calculus）」は、「１（真）と０（偽）」だけを、「値（value）」とする「計算」である。
従って、
（30）
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（Substitutuion）」を行ふといふことは、
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
Ｐ＝１（真） または、
Ｐ＝０（偽） といふ「代入（Substitutuion）」を行ふ。といふことである。
然るに、
（31）
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であるならば、当然、
① １→ Ｒ
② ～１∨ Ｒ
③ ～｛１＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ であるし、
① ０→ Ｒ
② ～０∨ Ｒ
③ ～｛０＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
従って、
（01）～（31）により、
（32）
以上の「内容」は、
① Ｐ→ Ｒ
② ～Ｐ∨ Ｒ
③ ～｛Ｐ＆～Ｒ｝
に於いて、
①＝②＝③ であるならば、当然、
① １→ Ｒ
② ～１∨ Ｒ
③ ～｛１＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ であるし、
① ０→ Ｒ
② ～０∨ Ｒ
③ ～｛０＆～Ｒ｝
に於いても、
①＝②＝③ である。
といふことに対する、「確認」である。
といふ風に、言へないこともない。
（33）
（Ｓ１）証明された定理の任意の代入例に対して、証明が見出されうる。
（Ｓ１）A proof can be found for any substitution-instance of a proved theorem.
（E.J.レモン、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学入門、６９頁と原文）
といふことは、「実感」としても、確かに、「正しい」。