（01）
①｛象、机、車｝であれば、
①｛象が動物であり｝、
②｛象、兎、馬｝であれば、
②｛象も動物である｝。
従って、
（01）により、
（02）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外（机、車）は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外（兎、馬）も動物である。
に於いて、①と②は、
① 象以外は動物でない。
② 象以外も動物である。
の「部分」が、「矛盾」する。
然るに、
（03）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
といふ「命題」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ＆～象ｘ→～動物ｘ）
① すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物であり、ｘが動物でなければ、ｘは動物ではない）。
といふ風に、書くことが出来る。
従って、
（02）（03）により、
（04）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。
に於いて①と②は、
① ～象ｘ→～動物ｘ
② ～（～象ｘ→～動物ｘ）
の「部分論理式」が、「矛盾」する。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① 象が動物である＝象は動物であり、象以外は動物でない。
② 象も動物である＝象は動物であり、象以外も動物である。
といふ「日本語」は、それぞれ、
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「述語論理」に、相当する。
然るに、
（06）
１０９ ∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）┤├ ∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ
（ａ） １（１）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） Ａ
１（２） Ｆａ＆Ｇａ １ＵＥ
１（３） Ｆａ ２＆Ｅ
１（４） ∀ｘＦｘ ３ＵＩ
１（５） Ｇａ ２＆Ｅ
１（６） ∀ｘＧｘ ５ＵＩ
１（７）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ ４６＆Ｉ
（ｂ）
１（１）∀ｘＦｘ＆∀ｘＧｘ Ａ
１（２）∀ｘＦｘ １＆Ｅ
１（３） Ｆａ ２ＵＥ
１（４） ∀ｘＧｘ １＆Ｅ
１（５） Ｇａ ４ＵＥ
１（６） Ｆａ＆Ｇａ ３５＆Ｉ
１（７）∀ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ） ６ＵＩ
１０９の、相互導出可能性の結果は、普遍量記号が連言の仲間であることからすれば、全く予想されることである。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１５１・１５３頁改）。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～象ｘ→～動物ｘ｝
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「式」は、
① ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆ ∀ｘ（～象ｘ→～動物ｘ）
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
といふ「式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（ⅱ）
１（１）∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ） Ａ
１（２） ～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２含意の定義
１（４） ～象ａ＆ 動物ａ ３ド・モルガンの法則
１（５） ∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） ４ＵＩ
（ⅲ）
１（１） ∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ） Ａ
１（２） ～象ａ＆ 動物ａ １ＵＥ
１（３） ～（象ａ∨～動物ａ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～（象ａ→～動物ａ） ３含意の定義
１（５） ∀ｘ～（象ａ→～動物ａ） ４ＵＩ
従って、
（08）により、
（09）
② ∀ｘ～（～象ｘ→～動物ｘ）
③ ∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（11）
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
に於いて、
③ ∀ｘ（～象ｘ＆動物ｘ）
といふ「論理式」は、
③ すべてのｘは、象以外の動物である。
といふ「意味」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）＆∀ｘ（～象ｘ＆ 動物ｘ）
といふ「論理式（命題）」は、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
といふ「意味」である。
然るに、
（13）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
といふことは、
②｛象、兎、馬｝ではなく、例へば、
③｛犬、兎、馬｝でなければ、ならない。
然るに、
（14）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、すべてのｘは象以外の動物である。
ではなく、
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
であるならば、
③｛象、兎、馬｝であるため、「問題」は無い。
然るに、
（15）
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
であるならば、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝
である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
③｛象、兎、馬｝であれば、
③｛象も動物である｝であるため、
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝
といふ「論理式」に、相当する。
然るに、
（17）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） １ＵＥ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ～（～象ａ→～動物ａ） ２＆Ｅ
５ （５） ～（～象ａ＆ 動物ａ） Ａ
６ （６） ～象ａ Ａ
７（７） 動物ａ Ａ
６７（８） ～象ａ＆ 動物ａ ６７＆Ｉ
５６７（９） ～（～象ａ＆ 動物ａ）＆
（～象ａ＆ 動物ａ） ５８＆Ｉ
５６ （ア） ～動物ａ ７９ＲＡＡ
５ （イ） ～象ａ→～動物ａ ６アＣＰ
１５ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ）
（～象ａ→～動物ａ） ４イ＆Ｉ
１ （エ） ～～（～象ａ＆ 動物ａ） ５ウＲＡＡ
１ （オ） ～象ａ＆ 動物ａ エＤＮ
１ （カ） ∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） オＥＩ
１ （キ） 象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） ３カ＆Ｉ
１ （ク）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝ キＵＩ
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→動物ａ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） １ＵＲ
１ （３） 象ａ→動物ａ ２＆Ｅ
１ （４） ∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ） ２＆Ｅ
５ （５） ～象ａ＆ 動物ａ Ａ
６ （６） ～象ａ→～動物ａ Ａ
５ （７） ～象ａ ５＆Ｅ
６ （８） 動物ａ ５＆Ｅ
５６ （９） ～動物ａ ６７ＭＰＰ
５６ （ア） 動物ａ＆～動物ａ ８９＆Ｉ
５ （イ） ～（～象ａ→～動物ａ） ６アＲＡＡ
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ） ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
従って、
（17）により、
（18）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝
に於いて、
②＝③ である（？）。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。
と言ってゐるにも拘らず、実際には、
②＝③ である。
といふことになってしまい、「お前の言ってゐることは、矛盾である」。
といふ、ことになる。
然るに、
（20）
１ （１）∃ｘＦｘ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ １２２ＥＥ
１ （４）∀ｘＦｘ ３ＵＩ
ＵＩの適用は正しい。なぜならば、１は「ａ」を含まないからである。しかし、ＥＥの適用は正しくない。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１４７頁）
従って、
（17）（20）により、
（21）
（ⅲ）
１ （ウ） ～（～象ａ→～動物ａ） ４５イＥＥ
１ （エ） 象ａ→動物ａ＆～（～象ａ→～動物ａ） ３ウ＆Ｉ
１ （オ） ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝ エＵＩ
といふ「３行」も、「マチガイ」である。
従って、
（17）（18）（21）により、
（22）
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆ ～（～象ｘ→～動物ｘ）｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆ 動物ｙ）｝
に於いて、
②＝③ ではなく、実際には、
②⇒③ である。
従って、
（19）（22）により、
（23）
③「象も動物である。」といふ「日本語」は、
② ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆～（～象ｘ→～動物ｘ）｝といふ「論理式」ではなく、
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝といふ「論理式」に、相当する。
といふ「主張」は、「矛盾」しない。
従って、
（23）により、
（24）
③ 象も動物である。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→動物ｘ＆∃ｙ（～象ｙ＆動物ｙ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、ｘは動物であり、あるｙは象以外の動物である。
といふ「等式」が、成立する。
（01）
（ⅰ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ６７＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ∨Ｑ（ＰでないかＱである）。
② Ｐ→Ｑ（Ｐならば、Ｑである）。
に於いて、
①＝② であって、この「等式」を「含意の定義」といふ。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１（１） Ｑ Ａ
１（２）～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequent）」は「妥当」であり、このことは、
③「任意の命題（Ｑ）は、任意の仮言命題（Ｐ→Ｑ）の後件（Ｑ）である。」
といふことを、示してゐる。
然るに、
（05）
（ⅲ）
１（１） Ｑ Ａ
１（２） ～Ｐ∨Ｑ １∨Ｉ
１（３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
（４）Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
然るに、
（06）
系Ⅰ：任意の連式は、それがトートロジー的であるときまたそのときに限って導出可能である。
（E.J.レモン、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、１１４頁）
従って、
（05）（06）により、
（07）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｑならば（ＰならばＱである）。
は「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（07）により、
（08）
③ 任意のＱとＰに於いて、
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
③ Ｑならば（ＰならばＱである）。
は、「恒に、真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「仮言命題」は、「恒に、真（本当）」である。
然るに、
（10）
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」は「真（本当）」である。
然るに、
（11）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
が、「恒真式（トートロジー）」であるといふことは、
③ Ｑ→（真→Ｑ） であっても、
③ Ｑ→（偽→Ｑ） であっても、いづれにせよ、「真（本当）」である。
といふ、ことである。
然るに、
（12）
③ Ｑ→（Ｐ→Ｑ）
に於いて、
③ Ｑ→（真→Ｑ） であっても、
③ Ｑ→（偽→Ｑ） であっても、いづれにせよ、「真（本当）」である。
といふことは、
③ Ｑならば（Ｐであろうと、Ｐでなかろうと）Ｑである。
といふことである。
然るに、
（13）
③ Ｑならば（Ｐであろうと、Ｐでなかろうと）Ｑである。
といふことは、
③ ＱならばＱである（同一律）。
と、「同じ」である。
従って、
（09）（13）により、
（14）
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」と「同じ」である。
然るに、
（15）
（ⅲ）
（１） Ｑ→Ｑ 定理導入の規則（ＴＩ）
（２）～Ｑ∨Ｑ 含意の定義
（ⅳ）
（１）～Ｑ∨Ｑ 定理導入の規則（ＴＩ）
（２） Ｑ→Ｑ 含意の定義
従って、
（15）により、
（16）
③ Ｑ→Ｑ （同一律）
④ ～Ｑ∨Ｑ （排中律）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」と「同じ」であって、
③ バカボンのパパが天才であるならば、バカボンのパパは天才である。
といふ「同一律（Ｑ→Ｑ）」は、
③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。
といふ「排中律（～Ｑ∨Ｑ）」と、「同じ」である。
然るに、
（18）
③ バカボンのパパは天才でないか、もしくは、バカボンのパパは天才である。
といふのであれば、
③ バカボンのパパは天才である。
とは、言へない。
従って、
（17）（18）により、
（19）
Ｐ＝太陽は東から昇る。
Ｑ＝バカボンのパパは天才である。
として、
③ バカボンのパパが天才であるならば（太陽が東から昇るならば、バカボンのパパは天才である）。
といふ「仮言命題」は、「恒に、真（本当）」であって、
③ 太陽は東から昇る。
といふ「命題」も「真（本当）」であるが、
③ バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」は、「真（本当）」であるとは、限らない。
従って、
（04）（19）により、
（20）
③「任意の命題（Ｑ）は、任意の仮言命題（Ｐ→Ｑ）の後件（Ｑ）である。」が、
③「後件（Ｑ）の真偽（本当・ウソ）は、不明である。」