（01）
（ⅰ）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
３ （３）∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 兎ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
２ ６ （ア） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ５８ＭＰＰ
１ ６ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９＆Ｅ
ウ （ウ） 鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
１ ６ （エ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （オ） ～鼻ｂａ→～長ｂ エＵＥ
２ ６ （カ） ∃ｙ（耳ｙａ＆長ｙ） ア＆Ｅ
キ（キ） 耳ｂａ＆長ｂ Ａ
２ ６ （ク） ∀ｚ（～耳ｚａ→～長ｚ＆耳ｚａ→～鼻ｚａ） ア＆Ｅ
２ ６ （ケ） ～耳ｂａ→～長ｂ＆耳ｂａ→～鼻ｂａ クＵＥ
２ ６ （コ） 耳ｂａ→～鼻ｂａ ケ＆Ｅ
キ（サ） 耳ｂａ キ＆Ｅ
２ ６ キ（シ） ～鼻ｂａ コサＭＰＰ
１２ ６ キ（ス） ～長ｂ オシＭＰＰ
ウ （セ） 長ｂ ウ＆Ｅ
１２ ６ウキ（ソ） 長ｂ＆～長ｂ シス＆Ｉ
１２ ６ウ （タ） 長ｂ＆～長ｂ カキソＥＥ
１２ ６ （チ） 長ｂ＆～長ｂ イウタＥＥ
１２３ （ツ） 長ｂ＆～長ｂ ３６チＥＥ
１２ （テ）～∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） ３ツＲＡＡ
１２ （ト）∀ｘ～（象ｘ＆兎ｘ） テ量化子の関係
１２ （ナ） ～（象ａ＆兎ａ） トＵＥ
１２ （ニ） ～象ａ∨～兎ａ ナ、ド・モルガンの法則
１２ （ヌ） ～兎ａ∨～象ａ ニ交換法則
１２ （ネ） 兎ａ→～象ａ ヌ含意の定義
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
１２ （〃）すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。 ネＵＩ
１２ （〃）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。 ネＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
１ （１）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２）∀ｘ｛兎ｘ→∃ｙ（耳ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～耳ｚｘ→～長ｚ＆耳ｚｘ→～鼻ｚｘ）｝ Ａ
１２ （ノ）∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ネＵＩ
といふ「推論」、すなはち、
（１）象は鼻が長い。然るに、
（２）兎は耳が長いが、兎の耳は鼻ではない。従って、
（３）兎は象ではない（Rabbits can not be elephants）。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
１ （２） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
３ （３） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
４（４） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） Ａ
３４（５） ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ３４ＭＰＰ
３４（６） 鼻ｂａ→～長ｂ ５ＵＥ
３４（７） ～鼻ｂａ∨～長ｂ ６含意の定義
３４（８） ～（鼻ｂａ＆ 長ｂ） ７ド・モルガンの法則
３４（９） ∀ｙ～（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ８ＵＩ
３４（ア） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ９量化子の関係
３ （イ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） ４アＣＰ
３ （ウ） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） イ含意の定義
３ （エ） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ウ交換法則
３ （オ） ～｛∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆ ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）｝ エ、ド・モルガンの法則
１３ （カ） ～象ａ ２オＭＴＴ
１ （キ） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ ３カＣＰ
１ （ク）∀ｘ｛∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝ キＵＩ
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ｛∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
３ （４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～｛∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝ ２３ＭＴＴ
６ （６） ～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） Ａ
６ （７） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ６含意の定義
１３６ （８） ～｛∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝＆
｛∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）→ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝ ５７＆
１３ （９） ～｛～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）∨ ∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）｝ ６８ＲＡＡ
１３ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） ９ド・モルガンの法則
１３ （イ） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ア交換法則
１３ （ウ） ～∀ｙ（鼻ｙａ→～長ｙ） イ＆Ｅ
１３ （エ） ∃ｙ～（鼻ｙａ→～長ｙ） ウ量化子の関係
オ （オ） ～（鼻ｂａ→～長ｂ） Ａ
カ（カ） ～鼻ｂａ∨～長ｂ Ａ
カ（キ） 鼻ｂａ→～長ｂ カ含意の定義
オカ（ク） ～（鼻ｂａ→～長ｂ）＆
（鼻ｂａ→～長ｂ） オキ＆Ｉ
オ （ケ） ～（～鼻ｂａ∨～長ｂ） カクＲＡＡ
オ （コ） 鼻ｂａ＆ 長ｂ ケ、ド・モルガンの法則
オ （サ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） コＥＩ
１３ （シ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ） エオサＥＥ
１３ （ス） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） イ＆Ｅ
１３ （セ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） シス＆Ｉ
１ （ソ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ３セＣＰ
１ （タ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ ソＵＩ
従って、
（04）により、
（05）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆ 長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）→∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
３（３） Ｆａ＆～Ｇａ Ａ
３（４） Ｆａ ３＆Ｅ
３（５） ～Ｇａ ３＆Ｅ
１ （６） Ｆａ→ Ｇａ １ＵＥ
１ ３（７） Ｇａ ４６ＭＰＰ
１ ３（８） Ｆａ＆～Ｇａ ５７＆Ｉ
１２ （９） Ｆａ＆～Ｇａ ２３８ＥＥ
１ （ア）～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
（ⅳ）
１ （１） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） Ａ
２ （２） ～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） Ａ
２ （３） ∃ｘ～（Ｆｘ→ Ｇｘ） ２量化子の関係
４ （４） ～（Ｆａ→ Ｇａ） Ａ
５（５） ～Ｆａ∨ Ｇａ Ａ
５（６） Ｆａ→ Ｇａ ６含意の定義
４５（７） ～（Ｆａ→ Ｇａ）＆
（Ｆａ→ Ｇａ） ４６＆Ｉ
４ （８） ～（～Ｆａ∨ Ｇａ） ５７ＲＡＡ
４ （９） Ｆａ＆～Ｇａ ８ド・モルガンの法則
４ （ア） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ９ＥＩ
２ （イ） ∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） ３４アＥＥ
１２ （ウ） ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）＆
∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～～∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ） エＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（07）により、
（08）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
ｘ＝ｚ
Ｆｘ＝～鼻ｚｘ
Ｇｘ＝～長ｚ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
④ ～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆ 長ｚ）
従って、
（09）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→ Ｇｘ）
④ ～∃ｘ（Ｆｘ＆～Ｇｘ）
に於いて、
ｘ＝ｙ
Ｆｘ＝鼻ｙｘ
Ｇｘ＝～長ｙ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ∀ｙ（鼻ｙｘ→～長ｙ）
④ ～∃ｙ（鼻ｙｘ＆ 長ｙ）
従って、
（05）（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
に於いて、
①＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１ （１） ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝ Ａ
１ （２） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～象ａ １ＵＥ
３ （３） 象ａ Ａ
３ （４） ～～象ａ ３ＤＮ
１３ （５） ～｛～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ２４ＭＰＰ
６（６） ∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
６（７） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６含意の定義
１３６（８） ～｛～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝＆
｛～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ５７＆Ｉ
１３ （９） ～｛∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）∨～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）｝ ６８ＲＡＡ
１３ （ア） ～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ）＆∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ９ド・モルガンの法則
１３ （イ） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ア交換法則
１ （ウ） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚａ＆長ｚ） ３イＣＰ
１ （エ）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ ウＵＩ
従って、
（10）（11）により、
（12）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
②＝③ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（12）により、
（13）
「番号」を付け直すと、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
② ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝
①＝② は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（03）（13）により、
（14）
① 象は鼻が長い。⇔
① 象は鼻は長く、鼻以外は長くない。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙは、ｘの鼻であって、長く、ｘの鼻以外で、長いｚは存在しない。⇔
② 鼻以外が長くなくて、鼻も長くないならば、象ではない。⇔
② ∀ｘ｛～∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→～象ｘ｝⇔
② すべてのｘについて、ｘの鼻以外で長いｚが存在せず、ｘの鼻であって長いｙが存在しないならば、ｘは象ではない。
といふ「等式」が、成立する。