大人の数学教室078(整数⑯)

【第7章】

(7) 2次合同方程式

※2次方程式のように解の公式はない。

解を持つ場合、持たない場合が複雑なので、簡単な場合のみ扱う。

(例)

x^2-x-6≡0 (mod 7)を解け。

(解)

(mod 7)を略記する。

(x+3)(x-2)≡0

x+3≡0または x-2≡0

よって、x≡-3, 2

したがって、x≡4, 2

pを素数とする。

(x-a)(x-b)≡0 (mod p)

⇒x≡a, b (mod p)

p,qを素数とする。

(x-a)(x-b)≡0 (mod pq)

⇔

(x-a)(x-b)≡0 (mod p)かつ

(x-a)(x-b)≡0 (mod q)

⇔

x≡a (mod p)かつx≡a (mod q)

または

x≡a (mod p)かつx≡b (mod q)

または

x≡b (mod p)かつx≡a (mod q)

または

x≡b (mod p)かつx≡b (mod q)

(例)

x^2-2x-15≡0 (mod 21)

(x+3)(x-5)≡0 (mod 3×7)

x≡-3 (mod 3)かつx≡-3 (mod 7)

または

x≡-3 (mod 3)かつx≡5 (mod 7)

または

x≡5 (mod 3)かつx≡-3 (mod 7)

または

x≡5 (mod 3)かつx≡5 (mod 7)

⇔

x≡-3≡18 (mod 21)

x≡12 (mod 21)

x≡11 (mod 21)

x≡5 (mod 21)

(例)

x^2-x+1≡0 (mod 7)

x^2-x-6≡0 (mod 7)

(x+2)(x-3)≡0 (mod 7)

x≡5, 3 (mod 7)

x^2-x+1は因数分解できないけれど、

x^2-x-6は因数分解できる。

時事川柳【2020/9/9】

クーポンの 延期がっかり 観光地 (鯉正)

(2020/9/9)

「Go To トラベル」の地域共通クーポン制度を10月1日から始めると発表

当初の発表では9月1日から。

再延期がないことを祈る。