【第12章】
2点間の距離の公式
(詳しくは後に解説する。知らない人は飛ばして(12)に進むか、ふむふむそんな公式があるのかと思って読んでください。)
座標平面上にA(a,b), B(s,t)の2点がある。
2点A,B間の距離ABは
AB=√{(s-a)^2+(t-b)^2}
【余弦定理の証明<2点間の距離>】
a^2=b^2+c^2-2bc×cosA を示す。他の2つも同様に示すことができる。
A(0,0),B(c,0),C(b×cosA,b×sinA) となるように、△ABC を座標平面上に置く。
BC^2
=(b×cosA-c)^2+(b×sinA)^2
= b^2×(cosA)^2-2bc×cosA+c^2
+b^2×(sinA)^2
=b2×{(sinA)^2+(cosA)^2}
+c^2-2bc×cosA
よって、
a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
【証明終】
(12)余弦定理を使える場合
①3辺と1角の関係
具体的な使い方は、
A- 2辺とそのはさむ角→対辺
B- 3辺→角の余弦→角
例)b=3,c=4, A=30°のとき、aを求めよ。
余弦定理より、
a^2=3^2+4^2-2×3×4×sin30°
=9+16-12=13
a＞0より、a=√13
例)a=7, b=5, c=8のとき、Aを求めよ。
余弦定理より、
cosA=(5^2+8^2-7^2)/(2×5×8)=1/2
よって、A=60°
