以下、その様子です。
Crucial Storage Executive を起動。
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現在の "バージョン 6.04.042020.06" に対し、"バージョン 6.06.062020.06" が利用できる、とあり、「今すぐアップグレードする」をクリックしました。
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ダウンロードが開始され、30秒ほどで完了、続いてセットアップファイルが実行されます。

最初に言語の選択を行い、あとはウイザードに従うだけです。

以下のアップグレード開始画面では、"バージョン 6.06.062020.06" であるはずが、"バージョン 6.06.062020.05" に変わっていました。

トータル 3分ほどでアップデート完了。
アップデート後、Crucial Storage Executive を起動すると、現在のバージョンは"バージョン 6.06.062020.05"にアップグレードされましたが、またまた「"バージョン 6.06.062020.06" が利用できる」という表示が出てきました。

そこで、再度「今すぐアップグレードする」をクリックすると、以下のエラー画面が出て、"バージョン 6.06.062020.06" にはアップデートできませんでした。。。
Crucial Storage Executive を起動。
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現在の "バージョン 6.04.042020.06" に対し、"バージョン 6.06.062020.06" が利用できる、とあり、「今すぐアップグレードする」をクリックしました。
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ダウンロードが開始され、30秒ほどで完了、続いてセットアップファイルが実行されます。

最初に言語の選択を行い、あとはウイザードに従うだけです。
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以下のアップグレード開始画面では、"バージョン 6.06.062020.06" であるはずが、"バージョン 6.06.062020.05" に変わっていました。
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トータル 3分ほどでアップデート完了。
アップデート後、Crucial Storage Executive を起動すると、現在のバージョンは"バージョン 6.06.062020.05"にアップグレードされましたが、またまた「"バージョン 6.06.062020.06" が利用できる」という表示が出てきました。
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そこで、再度「今すぐアップグレードする」をクリックすると、以下のエラー画面が出て、"バージョン 6.06.062020.06" にはアップデートできませんでした。。。
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何でしょうね???
私が使っている SSDが"CT256MX100" とかなり古いものなので、そろそろサポート対象外になったのかも?と半ばあきらめていたのですが、もう少し様子を見ていこうと思います。
https://f.hatena.ne.jp/nonn888/20201124145203
早速これを実行し成功したようなのですが、その後起動すると下図のような画面になります。
https://f.hatena.ne.jp/nonn888/20201124145205
これをクローズすると、見慣れた画面がチラリと見えるのでソフト自体は動いていると考えていますが、確証はありません。
その後、ソフト配布サイトより最新版(StorageExecutive-6.09.092020.03-windows-64bit-Setup.exe)DLLし上書きインストールを試みましたが、同じ版がインストールれているのでできないとのことです。
今後、更なる新バージョンがリリースされたとしても私の環境ではそれを知ることができない状況です。
そこで御願いですが、
1.最新版のv6.09.092020.03にバージョンアップできるか(?)、確認していただけないでしょうか。
2.v6.09.092020.03以降に、新バージョンが公開されたなら、教えていただけないでしょうか。
先ほど試してみたのですが、呑兵衛あなさんと全く同じ現象に遭遇しました。
これから色々試してみますので、何か分かればご連絡します。
旧バージョンはダウンロードできるので、不具合の発生したv6.09.092020.03 をアンインストールし、旧バージョンを再度インストールすると、元に戻せました。