（172）「量化子の関係」について。

（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が「変域（ドメイン）」であるとして、
　∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝｛∀ｙ（Ｆａｙ）＆∀ｙ（Ｆｂｙ）＆∀ｙ（Ｆｃｙ）｝＝
　∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）＆（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）＆（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）
従って、
（01）により、
（02）
～∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝
～｛（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）＆（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）＆（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ）｝
～（Ｆａａ＆Ｆａｂ＆Ｆａｃ）∨～（Ｆｂａ＆Ｆｂｂ＆Ｆｂｃ）∨～（Ｆｃａ＆Ｆｃｂ＆Ｆｃｃ） ：ド・モルガンの法則
（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～Ｆｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）：ド・モルガンの法則
然るに、
（03）
∃ｘ｛∃ｙ（～Ｆｘｙ）｝＝
｛∃ｙ（～Ｆａｙ）∨∃ｙ（～Ｆｂｙ）∨∃ｙ（～Ｆｃｙ）｝＝
（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～ｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）
従って、
（02）（03）により
（04）
～∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝＝（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～Ｆｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）
∃ｘ｛∃ｙ（～Ｆｘｙ）｝＝（～Ｆａａ∨～Ｆａｂ∨～Ｆａｃ）∨（～Ｆｂａ∨～Ｆｂｂ∨～Ｆｂｃ）∨（～Ｆｃａ∨～Ｆｃｂ∨～Ｆｃｃ）
従って、
（04）により、
（05）
① ～∀ｘ｛∀ｙ（Ｆｘｙ）｝
③ ∃ｘ｛∃ｙ（～Ｆｘｙ）｝
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
｛人間｝が「変域（ドメイン）」であるとして、
① ～∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、すべての人が、すべての人を愛してゐる。といふわけではない。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（～愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、ある人は、ある人を、愛してゐない。
に於いて、
①＝③ である。
然るに、
（07）
③ ∃ｙ（～愛ｘｙ）＝（～愛ａｙ∨～愛ｂｙ∨～愛ｃｙ）
② ～∀ｙ（愛ｘｙ）＝～（愛ａｙ＆愛ｂｙ＆愛ｃｙ）＝（～愛ａｙ∨～愛ｂｙ∨～愛ｃｙ）：ド・モルガンの法則
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ～∀ｘ｛∀ｙ（愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、すべての人が、すべての人を、愛してゐる。といふわけではない。
② ∃ｘ｛～∀ｙ（愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、ある人は、すべての人を愛してゐるわけではない。
③ ∃ｘ｛∃ｙ（～愛ｘｙ）｝＝自分自身をも含めて、ある人は、ある人を、愛してゐない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（08）により、
（09）
１（１）～∀ｘ∀ｙＦｘｙ　Ａ
１（２）∃ｘ～∀ｙＦｘｙ　１量化子の関係
１（３）∃ｘ∃ｙ～Ｆｘｙ　２量化子の関係
といふ「述語計算」は、「正しい」。

（171）「２よりも大きい、偶数の素数はない。」の「述語論理」。

（01）
数学では不等号を「≠」で表しますが、Excelでは「<>」で表すルールになっています。
従って、
（01）により、
（02）
 以下では、
「ａ≠ｂ」を、
「ａ<>ｂ」とし、
「ａ＝ｂ」を、
「ａ<>ｂではない。」とします。
（03）
（ⅰ）
１　　（１）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ｘ＝ｙｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　２＜ａ＆素数ａ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　２＜ａ＆素数ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　　　　　　～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　　　　　　∀ｙ～∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　４量化子の関係
１３　（６）　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ～（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　５量化子の関係
１３　（７）　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（偶数ｂ＆整数ｚ＆ａ＝ｂｚ）　　６ＵＥ
１３　（８）　　　　　　　　　　　　　　　～（偶数ｂ＆整数ｃ＆ａ＝ｂｃ）　　７ＵＥ
１３　（９）　　　　　　　　　　　　　　　～偶数ｂ∨～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ　　　８ドモルガンの法則
１３　（ア）　　　　　　　　　　　　　　～偶数ｂ∨（～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ）　　９結合法則
１３　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　偶数ｂ→（～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ）　　ア含意の定義
　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　偶数ｂ　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ）　　ウエＭＰＰ
１３ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　整数ｃ→ａ<>ｂｃ　　　エ含意の定義
１３　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　偶数ｂ→　整数ｃ→ａ<>ｂｃ）　　ウオＣＰ
１３　（キ）　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（偶数ｂ→　整数ｚ→ａ<>ｂｚ）　　カＵＩ
１３　（ク）　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→　整数ｚ→ａ<>ｙｚ）　　キＵＩ
１　　（ケ）　　　２＜ａ＆素数ａ→∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→　整数ｚ→ａ<>ｙｚ）　　３クＣＰ
１　　（コ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→　整数ｚ→ｘ<>ｙｚ）｝　ケＵＩ
（ⅱ）
１　　（１）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→　整数ｚ→ｘ<>ｙｚ）｝　Ａ
１　　（２）　　　２＜ｘ＆素数ｘ→∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→　整数ｘ→ａ<>ｙｚ）　　１ＵＥ
　３　（３）　　　２＜ａ＆素数ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１３　（４）　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→　整数ｙ→ａ<>ｙｚ）　　２３ＭＰＰ
１３　（５）　　　　　　　　　　　　　∀ｚ（偶数ｂ→　整数ｚ→ａ<>ｂｚ）　　４ＵＥ
１３　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　偶数ｂ→（整数ｃ→ａ<>ｂｃ）　　５ＵＥ
　　７（７）　　　　　　　　　　　　　　　　偶数ｂ　　　　　　　　　　　　　７Ａ
１３７（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（整数ｃ→ａ<>ｂｃ）　　６７ＭＰＰ
１３７（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ）　　８含意の定義
１３　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　偶数ｂ→（～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ）　　７９ＣＰ
１３　（イ）　　　　　　　　　　　　　　～偶数ｂ∨（～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ）　　ア含意の定義
１３　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～偶数ｂ∨～整数ｃ∨ａ<>ｂｃ　　　イ結合法則
１３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～（偶数ｂ＆整数ｃ＆ａ＝ｂｃ）　　ウ、ドモルガンの法則
１３　（オ）　　　　　　　　　　　　　∀ｚ～（偶数ｂ＆整数ｚ＆ａ＝ｂｚ）　　エＵＩ
１３　（カ）　　　　　　　　　　　∀ｙ∀ｚ～（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　オＵＩ
１３　（キ）　　　　　　　　　～～∀ｙ∀ｚ～（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　カＤＮ
１３　（ク）　　　　　　　　　～∃ｙ～∀ｚ～（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　キ量化子の関係
１３　（ケ）　　　　　　　　　～∃ｙ∃ｚ～～（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　ク量化子の関係
１３　（サ）　　　　　　　　　～∃ｙ∃ｚ～～（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　ケ量化子の関係
１３　（シ）　　　　　　　　　　　～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　ケ量化子の関係
１　　（ス）　　　２＜ａ＆素数ａ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ａ＝ｙｚ）　　３シＣＰ
１　　（セ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ｘ＝ｙｚ）｝　スＵＩ
（04）
　―「結合法則の証明」―
（ａ）
１　　　　（１）Ｐ∨　Ｑ∨Ｒ　　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　２∨Ｉ　
　　３　　（４）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　３　　（５）　　（Ｑ∨Ｒ）　４∨Ｉ
　　３　　（６）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　５∨Ｉ
　　　７　（７）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　７　（８）　　（Ｑ∨Ｒ）　７∨Ｉ
　　　７　（９）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　８∨Ｉ
１　　　　（ア）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　１２３４６７９∨Ｅ
（ｂ）
１　　　　（１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨　Ｑ　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｐ∨　Ｑ∨Ｒ　　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　　６　（７）　　　Ｑ∨Ｒ　　６∨Ｉ
　　　６　（８）Ｐ∨　Ｑ∨Ｒ　　７∨Ｉ
　　　　９（９）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　９（ア）　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　　　９（イ）Ｐ∨　Ｑ∨Ｒ　　ア∨Ｉ
１　　　　（ウ）Ｐ∨　Ｑ∨Ｒ　　１２４５イ∨Ｅ
従って、
（03）（04）により、
（05）
（ⅰ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ｘ＝ｙｚ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→　∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→整数ｚ→ｘ<>ｙｚ）｝
に於いて、
（ⅰ）ならば（ⅱ）であり、
（ⅱ）ならば（ⅰ）である。
従って、
（05）により、
（06）
（ⅰ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ｘ＝ｙｚ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→　∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→整数ｚ→ｘ<>ｙｚ）｝
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（06）により、
（07）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが２より大きい素数であるならば、あるｙが偶数で、あるｚが整数である際に、ｘが、ｙとｚで割りきれる。といふことはない。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが２より大きい素数であるならば、すべてのｙと、すべてのｚについて、ｙが偶数ならば、ｚが整数ならば、ｘは、ｙとｚでは、割り切れない。
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
然るに、
（08）
（ⅰ）すべてのｘについて、ｘが２より大きい素数であるならば、あるｙが偶数で、あるｚが整数である際に、ｘが、ｙとｚで割りきれる。といふことはない。
（ⅱ）すべてのｘについて、ｘが２より大きい素数であるならば、すべてのｙと、すべてのｚについて、ｙが偶数ならば、ｚが整数ならば、ｘは、ｙとｚでは、割り切れない。
といふことは、
（ⅲ）２よりも大きい、偶数の素数はない。
といふことに、他ならない。
従って、
（06）（07）（08）により、
（09）
（ⅲ）２よりも大きい、偶数の素数はない。
といふ「日本語」は、
（ⅰ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ｘ＝ｙｚ）｝
（ⅱ）∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→　∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→整数ｚ→ｘ<>ｙｚ）｝
といふ「述語論理」に、翻訳される。
然るに、
（10）
一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである（ウィキペディア）。
従って、
（09）（10）により、
（11）
「述語論理」は、例へば、
（ⅰ）２よりも大きい、偶数の素数はない＝∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→～∃ｙ∃ｚ（偶数ｙ＆整数ｚ＆ｘ＝ｙｚ）｝。
（ⅱ）２よりも大きい、偶数の素数はない＝∀ｘ｛２＜ｘ＆素数ｘ→　∀ｙ∀ｚ（偶数ｙ→整数ｚ→ｘ<>ｙｚ）｝。
といふ「命題」を「表現」するために、発明されたのであって、例へば、
（ⅲ）虎百獸を求めて之を食ひ、狐を得たり＝∃ｙ｛虎ｙ＆∀ｘ［獸ｘ→求ｙｘ＆食ｙｘ＆∃ｚ（狐ｚ＆獸ｚ＆得ｙｚ）］｝。
といふ「命題」を「表現」するために、発明されたのではない。
といふ、ことになる。