（198）「選言導入の規則（∨Ｉ）」は「不自然」ではない（ⅴ）。

―「先ほどの記事（197）」の「続き」を書きます。―
（27）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「推論」を、「不自然」であると、思ふのであれば、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
といふことを、「教へられてゐない」か、「忘れてゐる」の、どちらかである。
従って、
（27）により、
（28）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１選言導入の規則
であれば、
１（２）ソクラテスは人間である。
までが、「確実」に「真」であり、
１（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。
といふ「部分」に関しては、「真」であるかどうか、分からない。
といふ、ことになる。
従って、
（28）により、
（29）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことからすれば、
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１選言導入の規則
といふ「推論」は、初めから、
１（１）　　　　ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）従って、ソクラテスは人間であるが、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるかどうかは、分からない。　１選言導入の規則
といふ「意味」であった。といふことになる。
従って、
（29）により、
（30）
１（１）Ｐ　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨
１（３）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ　１∨
１（４）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ　１∨
１（５）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ∨Ｔ　１∨
１（６）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ∨Ｓ∨Ｔ∨Ｕ　１∨
といふ具合に、「いくらでも、無限に、選言肢を加へること」が出来、尚且つ、「これらの選言枝」は、「真」であっても、「偽」であっても、かまはない。
然るに、
（31）
１（１）Ｐ　　　Ａ
　（２）Ｐ→Ｐ　１１ＣＰ
　（〃）ＰであるならばＰである。　は、トートロジーである。
ｃｆ.
トートロジー（tautology）
文法的には同じ語の無意味な反復をいうが，論理学では，経験的知識の内容とはかかわりなく，必然的に真として成立する命題，ないしその関数関係をいう。
（ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説）
然るに、
（32）
１（１）　Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）　Ｐ∨～Ｐ　　　　∨Ｉ
１（３）～Ｐ∨　Ｐ　　　　２交換法則
１（４）　Ｐ→　Ｐ　　　　３含意の定義
　（５）　Ｐ→（Ｐ→Ｐ）　１４ＣＰ
　（〃）Ｐであるならば（ＰであるならばＰである）。　は、トートロジーである。
従って、
（31）（32）により、
（33）
① 　　　　　　　　ＰであるならばＰである。
② Ｐであるならば（ＰであるならばＰである）。
に於いて、
① は、トートロジーであり、
② も、トートロジーであるが、
② を「証明」するためには、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
然るに、
（34）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨Ｐ　２∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨Ｐ　１２３４５∨Ｅ
（ⅱ）
１　　（１）Ｑ∨Ｐ　Ａ
　２　（２）Ｑ　　　Ａ
　２　（３）Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　　４（４）　　Ｐ　Ａ
　　４（５）Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
１　　（６）Ｐ∨Ｑ　１２３４５∨Ｅ
従って、
（34）により、
（35）
③ Ｐ∨Ｑ
④ Ｑ∨Ｐ
に於いて、すなはち、
③ Ｐであるか、Ｑである。
④ Ｑであるか、Ｐである。
に於いて、
③＝④ である。
といふ「交換法則」を「照明」するためにも、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
ｃｆ.
③ １＋２＝３
④ ２＋１＝３
然るに、
（36）
（ⅰ）
１　　　　（１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｐ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　　（１）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｑ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｑ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｐ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｐ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｑ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
従って、
（36）により、
（37）
⑤ Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）
⑥ Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）
に於いて、すなはち、
⑤ Ｐであるか（Ｑであるか、Ｒである）。
⑥ Ｑであるか（Ｐであるか、Ｒである）。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
といふ「交換法則」を「照明」するためにも、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
ｃｆ.
⑤ １＋（２＋３）＝６
⑥ ２＋（１＋３）＝６
（38）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　Ａ
１　　（２）　Ｐ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　（３）　Ｑ∨Ｒ　　　　　　　　１＆Ｅ
　４　（４）　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１４　（５）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　２４＆Ｉ
１４　（６）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　５∨Ｉ
　　７（７）　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
１　７（８）　　　　　　　Ｐ＆Ｒ　　２７＆Ｉ
１　７（９）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　８∨Ｉ
１　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　３４６７９ＥＥ
（ⅱ）
１　　（１）（Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　２　（２）（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　　Ａ
　２　（３）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（４）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　（５）　　　　Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　２　（６）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　３５＆Ｉ
　　７（７）　　　　　　（Ｐ＆Ｒ）　Ａ
　　７（８）　　　　　　　Ｐ　　　　７＆Ｅ
　　７（９）　　　　　　　　　Ｒ　　７＆Ｅ
　　７（ア）　　　　　　　Ｑ∨Ｒ　　９∨Ｉ
　　７（イ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　８ア＆Ｉ
１　　（ウ）　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）　　　　１２６７イＥＥ
従って、
（38）により、
（39）
⑦ 　Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）
⑧ （Ｐ＆Ｑ）∨（Ｐ＆Ｒ）
に於いて、すなはち、
⑦  Ｐであって（Ｑであるか、Ｒである）。
⑧（ＰであってＱである）か、（ＰであってＲである）。
といふ「分配法則」を「照明」するためにも、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を、「必要」とする。
ｃｆ.
⑦　２×（３＋４）　　　＝１４
⑧（２×３）＋（２×４）＝１４
従って、
（33）～（39）により、
（40）
「選言導入の規則（∨Ｉ）」を認めなければ、「自然演繹（Natural deduction）」は、成り立たない。
ｃｆ.
自然演繹
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
ナビゲーションに移動検索に移動
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。
従って、
（29）（40）により、
（41）
例へば、
１（１）　　　　ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）従って、ソクラテスは人間であるが、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるかどうかは、分からない。
　１選言導入の規則
といふ、「選言導入の規則（∨Ｉ）」を認めなければ、「自然演繹（Natural deduction）」そのものが、成り立たない。
従って、
（28）（41）により、
（42）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１選言導入の規則
といふ「選言導入の規則（∨Ｉ）」に対して、「疑念」を持ってゐるのであれば、「自然演繹（Natural deduction）」自体に、
「疑念」を持ったまま、例へば、
１　　　　（１）Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　２　　　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　２　　　（３）Ｐ∨Ｒ　　　　　２∨Ｉ
　２　　　（４）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　３∨Ｉ
　　５　　（５）　　　Ｑ∨Ｒ　　Ａ
　　　６　（６）　　　Ｑ　　　　Ａ
　　　６　（７）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　６∨Ｉ
　　　　８（８）　　　　　Ｒ　　Ａ
　　　　８（９）　　　Ｐ∨Ｒ　　８∨Ｉ
　　　　８（ア）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　９∨Ｉ
　　５　　（イ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　５６７８ア∨Ｅ
１　　　　（ウ）Ｑ∨（Ｐ∨Ｒ）　１２４５イ∨Ｅ
といふ「計算（Proposition calculation）」を、行ってゐることになる。
ｃｆ.
⑤ １０円∨（２百円∨３千円）＝３千２百十円
⑥ ２百円∨（１０円∨３千円）＝３千２百十円
然るに、
（43）
幸いなことに、今や、私自身は、「選言導入の規則（∨Ｉ）」に対して、「何らの、疑念」も、持ってはゐない。
（44）
１（１）　　　　ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）従って、ソクラテスは人間であるが、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるかどうかは、分からない。
　１選言導入の規則
といふ「推論（inference）」は、どう考へても、「自然（Natural）」であり、「妥当（valid）」である。

（197）「選言導入の規則（∨Ｉ）」は「不思議」ではない（Ⅳ）。

（01）
１　（１）Ｐ　　　Ａ
　２（２）Ｐ→Ｑ　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
といふ「推論」は、
すなはち、
１　（１）Ｐである。　　　　　と「仮定」する。
　２（２）ＰならばＱである。　と「仮定」する。
１２（３）　　　　Ｑである。　１２ＭＰＰ
といふ「推論」は、
　　（１）が「真」であって、
　　（２）も「真」であれば、必然的に、
　　（３）は「真」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（02）
① Ｐ（真）→Ｑ（真）
② Ｐ（真）→Ｑ（偽）
に於いて、
① は、「真」であるが、
② は、「偽」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
たしかに、
１　（１）Ｐ　　　Ａ
　２（２）Ｐ→Ｑ　Ａ
１２（３）　　Ｑ　１２ＭＰＰ
に於いて、
　　（１）が「真」であって、
　　（２）も「真」であれば、必然的に、
　　（３）は「真」である。
然るに、
（04）
１（１）　Ｐ　　　　　　　　Ａ
１（２）　Ｐ∨Ｑ　　　　　　１∨Ｉ
　（３）　Ｐ→（Ｐ∨Ｑ）　　１２ＣＰ
　（４）～Ｐ∨（Ｐ∨Ｑ）　　３含意の定義
　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨Ｑ　　結合法則
（05）
１（１）Ｐ　　　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨～Ｑ　　　　　　１∨Ｉ
　（３）Ｐ→（Ｐ∨～Ｑ）　　１２ＣＰ
　（４）～Ｐ∨Ｐ∨～Ｑ　　　３含意の定義
　（５）（～Ｐ∨Ｐ）∨～Ｑ　結合法則
従って、
（04）（05）により、
（06）
③ Ｐ→（Ｐ∨　Ｑ）＝Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）。
④ Ｐ→（Ｐ∨～Ｑ）＝Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑでない）。
に於いて、
③ は、「常に真（トートロジー）」であって、
④ も、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（07）
③ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）。
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑでない）。
に於いて、
③ は、「常に真（トートロジー）」であって、それと同時に、
④ も、「常に真（トートロジー）」である。
といふことは、
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
といふことに、他ならない。
然るに、
（08）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　　　　　１∨Ｉ
１（３）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　１２＆Ｉ
（ⅱ）
１（１）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　Ａ
１（２）Ｐ　　　　　　　１＆Ｅ
従って、
（09）
（ⅰ）Ｐ
（ⅱ）Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（09）により、
（10）
⑤ Ｐ⇔Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）
⑤ Ｐならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）。
然るに、
（11）
⑤ Ｐ⇔Ｐ＆（Ｐ∨Ｑ）　は、
⑤ 真⇔真＆（真∨真）　だけでなく、
⑤ 真⇔真＆（真∨偽）　であっても、「真」である。
従って、
（10）（11）により、
（12）
⑤ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１　　（１）Ｐ　　　　　　　Ａ
１　　（２）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　１∨Ｉ
（ⅱ）
１　　（１）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　Ａ
　２　（２）Ｐ　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　Ｐ＆Ｑ　　１＆Ｅ
　　３（４）　　　Ｐ　　　　３＆Ｅ
１　　（５）Ｐ　　　　　　　１２２３４∨Ｅ
従って、
（13）により、
（14）
（ⅰ）Ｐ
（ⅱ）Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） である。
従って、
（14）により、
（15）
⑥ Ｐ⇔Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）。
然るに、
（16）
⑥ Ｐ⇔Ｐ∨（Ｐ＆Ｑ）　は、
⑥ 真⇔真∨（真＆真）　だけでなく、
⑥ 真⇔真∨（真＆偽）　であっても、「真」である。
従って、
（15）（16）により、
（17）
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
従って、
（04）（07）（12）（17）により、
（18）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１選言導入の規則
であるとして、すなはち、
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、
④ Ｐであるならば（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
⑤ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであって（Ｐであるか、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
⑥ Ｐであるならば、そのときに限って、Ｐであるか（Ｐであって、Ｑである）が、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
といふ、ことになる。
従って、
（19）
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、Ｐではあるが、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
とするのが、「選言導入の規則（∨Ｉ）」である。といふ、ことになる。
然るに、
（20）
この規則は、推論の中で意識されることがおおよそないといえます。「彼女は背が高い」という主張をＰとしましょう。すると、このＰから「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」が導けます。この場合、主張Ｑは「彼女は美人だ」に対応しています。しかし、「彼女は背が高い」がわかっているのに、わざわざ、「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ」とつなげる場面は普通の会話ではあまりないでしょう。数学の証明でも、これが使われる場面はほとんど見かけないような気がします（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１５６頁）。
然るに、
（21）
「彼女は背が高い　または　彼女は美人だ。」といふ会話は、ともかく、
「彼女は背が高い　が、彼女が美人であるかどうかは分からない。」といふ会話であれば、「普通」である。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
１（１）Ｐである。　　　　　　　と「仮定」すると、それだけで、
１（２）Ｐであるか、Ｑである。　としても、Ｐではあるが、Ｑであるかどうかは、「不明」である。
とする、「選言導入の規則（∨Ｉ）」は、「少しも、不自然」ではない。
（23）
（ⅰ）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於ける。
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
然るに、
（23）により、
（24）
１（１）Ｐ　　　Ａ
１（２）Ｐ∨Ｑ　１∨Ｉ
に於いて、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「意味」してゐる。
然るに、
（25）
１（１）Socrates is a man.　Ａ
１（２）Socrates is a man or pigs are flying in formation over the English Channel.　１∨Ｉ
に於ける、
１の行　とは、
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
である。
従って、
（24）（25）により、
（26）
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「命題」が「真」であったとしても、「豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいるか、どうかは分からない。」
従って、
（24）（25）（26）により、
（27）
１（１）ソクラテスは人間である。　Ａ
１（２）ソクラテスは人間であるか、または、豚がイギリスの海峡を越えて編隊を組んで飛んでいる。　１∨Ｉ
といふ「推論」を、「不自然」であると、思ふのであれば、
１（２）の左には、
１　しかない。
といふことは、
１の行　は、　「真　」であるが、
１の行　以外の「真偽」は、
１の行　に「依存」する。
といふことを、「教へられてゐない」か、「忘れてゐる」の、どちらかである。