（204）恒真式（トートロジー）についてⅡ。

―「先ほどの記事（203）」の「続き」を書きます。―
（34）
（ⅶ）
１　　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｑ　Ａ
１２　（４）　　　　　Ｑ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　～Ｑ＆Ｑ　３４＆Ｉ
１　３（６）　～Ｐ　　　　２５ＲＡＡ
１　　（７）　～Ｑ→～Ｐ　３６ＣＰ
（ⅷ）
１　　（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）　～Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｐ　Ａ
１２　（４）　　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｑ　　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｑ　　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　４７ＣＰ
従って、
（34）により、
（35）
（ⅶ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅷ）～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
（ⅶ）＝（ⅷ） である。
然るに、
（36）
自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の基本的規則」だけを持つ。
１.仮定の規則（Ａ）
２.肯定肯定式（ＭＰＰ）
３.否定否定式（ＭＴＴ）
４.二重否定　（ＤＮ）
５.条件的証明（ＣＰ）
６.＆導入　　（＆Ｉ）
７.＆除去　　（＆Ｅ）　
８.∨導入　　（＆Ｉ）
９.∨除去　　（＆Ｅ）
10.背理法　　（ＲＡＡ）
（ウィキペディア改）
従って、
（35）（36）により、
（37）
「体系Ｌの基本規則の内の、Ａ、ＭＰＰ、ＤＮ、ＣＰ、＆Ｉ、ＲＡＡ」によって、
（ⅶ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅷ）～Ｑ→～Ｐ
すなはち、「対偶は、等しい」。
然るに、
（38）
（ⅸ）
１（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
１（２）　～Ｐ∨　Ｑ　１含意の定義
１（３）　　Ｑ∨～Ｐ　２交換法則
１（４）～～Ｑ∨～Ｐ　３ＤＮ
１（５）　～Ｑ→～Ｐ　４含意の定義
（ⅹ）
１（１）　～Ｑ→～Ｐ　Ａ
１（２）～～Ｑ∨～Ｐ　１含意の定義α
１（３）　　Ｑ∨～Ｐ　２ＤＮ
１（４）　～Ｐ∨　Ｑ　３交換法則
１（５）　　Ｐ→　Ｑ　４含意の定義α
従って、
（36）（38）により、
（39）
「体系Ｌの基本規則の内の、Ａ、ＤＮ」と「含意の定義α、交換法則」によっても、
（ⅸ）　Ｐ→　Ｑ
（ⅹ）～Ｑ→～Ｐ
すなはち、「対偶は、等しい」。
然るに、
（40）
（ⅺ）
１　　（１）～Ｐ∨Ｑ　Ａ
　２　（２）～Ｐ　　　Ａ
　２　（３）Ｑ∨～Ｐ　２∨Ｉ
　　４（４）　　　Ｑ　Ａ
　　４（５）Ｑ∨～Ｐ　４∨Ｉ
１　　（６）Ｑ∨～Ｐ　１２３４５ＥＥ
（ⅻ）
１　　（１）Ｑ∨～Ｐ　Ａ
　２　（２）Ｑ　　　　Ａ
　２　（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
　　４（４）　　～Ｐ　Ａ
　　４（５）～Ｐ∨Ｑ　４∨Ｉ
１　　（６）～Ｐ∨Ｑ　１２３４５ＥＥ
従って、
（41）
（01）（02）（36）（40）により、
（41）
「含意の定義α、交換法則」自体も、「体系Ｌの、１０個の基本規則」で「証明」出来る。
加へて、
（16）により、
（42）
「ド・モルガンの法則」も、「体系Ｌの、１０個の基本規則」で「証明」出来る。
従って、
（36）～（42）により、
（43）
「自然演繹の体系Ｌの、１０個の基本規則」は、「公理」のやうな「働き」をする。
然るに、
（44）
ヒルベルトの演繹システムは、公理が多く、推論規則が少ないものです。そして、公理も、わけのわからない論理式となっています。例えば、
　 Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
という論理式が公理として設定されています。つまり、この論理式を出発点として演繹を行って良い。ということです、多くの人は、この論理式の意味が飲み込めないでしょう（小島寛之、証明と論理に強くなる、2017年、１３６頁）。
然るに、
（45）
（α）
　　１　（１）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　Ａ
　　　２（２）　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）　　　Ａ
　　　２（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　　　２（４）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　　２（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　２＆Ｅ
　　　２（６）　　　　　　　～Ｐ　　　　４＆Ｅ
　　１２（７）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　　１３ＭＰＰ
　　１２（８）　　　　　　　　Ｐ　　　　５７ＭＰＰ
　　１２（９）　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　６８＆Ｉ
　　１　（ア）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　２９ＲＡＡ
（β）
１　　　（１）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　Ａ
　２　　（２）　　Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　Ａ
　２３　（４）　　Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）　　　３４＆Ｉ
１２３　（５）～｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝＆　
　　　　　　　　｛Ｐ＆（Ｑ＆～Ｐ）｝　　１４＆Ｉ
１２　　（６）　　　～（Ｑ＆～Ｐ）　　　３５ＲＡＡ
　　７　（７）　　　　　Ｑ　　　　　　　Ａ
　　　８（８）　　　　　　　～Ｐ　　　　Ａ
　　７８（９）　　　　　Ｑ＆～Ｐ　　　　７８＆Ｉ
１２７８（ア）　　　～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　　６９＆Ｉ
１２７　（イ）　　　　　　～～Ｐ　　　　８アＲＡＡ
１２７　（ウ）　　　　　　　　Ｐ　　　　イＤＮ
１２　　（エ）　　　　　Ｑ→　Ｐ　　　　７ウＣＰ
１　　　（オ）　　Ｐ→（Ｑ→　Ｐ）　　　２エＣＰ
従って、
（45）により、
（46）
（α）   　 Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）　
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、
（α）＝（β） である。
然るに、
（47）
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝ は、
（β）～｛（　矛盾　）＆Ｑ｝ である。
従って、
（47）により、
（48）
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝ は、
（β）～｛（　偽　　）＆真｝ であっても、
（β）～｛（　偽　　）＆偽｝ であっても、
（β）～｛　　　　　　偽　｝ は、「真」である。
従って、
（47）（48）により、
（49）
（α）   　 Ｐ→（Ｑ→  Ｐ）　
（β）～｛（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ｝
に於いて、
（α）＝（β） であって、尚且つ、
　　　　（β） は、「恒真」である。
従って、
（44）（49）により、
（50）
（α）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ、「わけのわからない、ヒルベルトの公理（論理式）」は「恒真」である。
従って、
（36）（44）（50）により、
（51）
（α）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）（Ｐならば（ＱならばＰ））
といふ、「わけのわからない、ヒルベルトの公理（論理式）」は、「ジョン・レモンが開発した自然演繹の、一つの体系Ｌ」に於いても、「恒真」である。

（203）恒真式（トートロジー）について。

（01）
（ⅰ）
　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　Ａ
　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　Ａ
　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　２＆Ｅ
　　　　　２（４）　　　　～Ｑ　２＆Ｅ
　　　　１２（５）　　　　　Ｑ　１３ＭＰＰ
　　　　１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　４５＆Ｉ
　　　　１　（７）　　　～～Ｑ　４６ＲＡＡ
　　　　１　（８）　　　　　Ｑ　７ＤＮ
　　　　１　（９）　　～Ｐ∨Ｑ　８∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆　Ｐ　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　７　　（９）　　Ｑ＆～Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆～Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆～Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆～Ｑ　　　エオ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　～～Ｑ　　　７カＲＡＡ
１　　　ウ　（ク）　　　　　Ｑ　　　キＤＮ
１　　　　　（ケ）　　Ｐ→　Ｑ　　　ウクＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）　Ｐ→Ｑ
（ⅱ）～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ） であるものの、「この等式」を、「含意の定義α」とする。
（03）
（ⅲ）
　　　　１　（１）　　Ｐ→　Ｑ　　Ａ
　　　　　２（２）　　Ｐ＆～Ｑ　　Ａ
　　　　　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
　　　　　２（４）　　　　～Ｑ　　２＆Ｅ
　　　　１２（５）　　　　　Ｑ　　１３ＭＰＰ
　　　　１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
　　　　１　（７）～（Ｐ＆～Ｑ）　２６ＲＡＡ
（ⅳ）
　　　１　　（１）～（Ｐ＆～Ｑ）　　Ａ
　　　　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　３（３）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　２３（４）　　Ｐ＆～Ｑ　　　２３＆Ｉ
　　　１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆～Ｑ）　　１４＆Ｉ
　　　１２　（６）　　　～～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
　　　１２　（７）　　　　　Ｑ　　　６ＤＮ
　　　１　　（８）　　Ｐ→　Ｑ　　　２７ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅲ）　　Ｐ→　Ｑ
（ⅳ）～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
（ⅲ）＝（ⅳ） であるものの、「この等式」を、「含意の定義β」とする。
然るに、
（05）
（ａ）
１（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　（２）　　Ｐ→Ｐ　　　１１ＣＰ
（ｂ）
１（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　（２）　　Ｐ→Ｐ　　　１１ＣＰ
　（３）　～Ｐ∨Ｐ　　　２含意の定義α
（ｃ）
１（１）　　Ｐ　　　　　Ａ
　（２）　　Ｐ→Ｐ　　　１１ＣＰ
　（３）～（Ｐ＆～Ｐ）　２含意の定義β
従って、
（05）により、
（06）
「Ｐ→Ｐ」＝「～Ｐ∨Ｐ」＝「～（Ｐ＆～Ｐ）」
である。
従って、
（06）により、
（07）
「Ｐ→Ｐ」＝「～Ｐ∨Ｐ」＝「～（Ｐ＆～Ｐ）」⇔
「ＰならばＰである。」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
である。
然るに、
（08）
「ＰならばＰである。」の「対偶」は、
「ＰでないならばＰでない。」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
「ＰならばＰである。」
「ＰでないならばＰでない。」
「Ｐでないか、または、Ｐである。」
「ＰであってＰでない。といふことはない。」
に於いて、「４つの言ひ方」は、すべて、「同じこと」である。
然るに、
（10）
「Ｐでないか、または、Ｐである。」
といふことと、
「ＰでないならばＰでなく、ＰであるならばＰである。」
といふことは、たしかに、「同じこと」である。
然るに、
（11）
「Ｐでないか、または、Ｐである。」
といふことは、
「Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。」
といふことである。
然るに、
（12）
「Ｐであるのか、Ｐでないのかは、分からない。」
と、誰かが言ふならば、その誰かは、
「Ｐであるとは、言ってゐないし、Ｐでないとも、言ってゐない。」
といふことである。
然るに、
（13）
「Ｐであるとは、言ってゐないし、Ｐでないとも、言ってゐない。」
と、誰かが言ったとして、その誰かが「言ったこと」を、「否定」することは、「不可能」である。
従って、
（06）～（13）により、
（14）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通りの、言ひ方」は、誰にも「否定できず」、それ故、「常に真（トートロジー）」である。
然るに、
（15）
１（１）　～（Ｐ＆～Ｐ）　Ａ
１（２）～～（Ｐ＆～Ｐ）　Ａ
１（３）　　（Ｐ＆～Ｐ）　２ＤＮ
然るに、
（16）
（ⅴ）
１　　　（１）　～（～Ｐ∨Ｑ）　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　２∨Ｉ
１２　　（４）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ∨Ｑ）　１３＆Ｉ
１　　　（５）　　～～Ｐ　　　　　　　　　　　２４ＲＡＡ
１　　　（６）　　　　Ｐ　　　　　　　　　　　５ＤＮ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　～Ｐ∨Ｑ　　　　　　　　　７∨Ｉ
１　　７（９）　～（～Ｐ∨Ｑ）＆（～Ｐ∨Ｑ）　１８＆Ｉ
１　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　７９ＲＡＡ
１　　　（ウ）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　６イ＆Ｉ
（ⅵ）
１　　　（１）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　２　　（２）　　～Ｐ∨　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　　～Ｐ　　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　　Ｐ　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　３　（５）　　～Ｐ＆　Ｐ　　　　　　　　　　３４＆Ｉ
　　３　（６）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　１５ＲＡＡ
　　　７（７）　　　　　　Ｑ　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（８）　　　　　～Ｑ　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　７（９）　　　Ｑ＆～Ｑ　　　　　　　　　　７８＆Ｉ
　　　７（ア）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　１９ＲＡＡ
　２　　（イ）　～（Ｐ＆～Ｑ）　　　　　　　　　２３６７ア∨Ｅ
１２　　（ウ）　　（Ｐ＆～Ｑ）＆～（Ｐ＆～Ｑ）　１イ＆Ｉ
１　　　（エ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　　　　２ウＲＡＡ
従って、
（16）により、
（17）
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
（ⅴ）＝（ⅵ） である。
ものの、「この等式」を、「ド・モルガンの法則」と言ふ。
然るに、
（18）
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｑ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
（ⅴ）Ｑ＝Ｐ
（ⅵ）Ｑ＝Ｐ
といふ「代入」を行ふと、
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｐ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｐ）
従って、
（17）（18）により、
（19）
（ⅴ）～（～Ｐ∨　Ｐ）　
（ⅵ）　（　Ｐ＆～Ｐ）
に於いて、
（ⅴ）＝（ⅵ） である。
従って、
（14）（15）（19）により、
（20）
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」⇔
を「否定」すると、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」が、生じることになる。
従って、
（09）（14）（20）により、
（21）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通り」を「否定」すると、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」が、生じることになる。
然るに、
（22）
「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」の「肯定」するわけには、行かない。
従って、
（21）（22）により、
（23）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通りの、言ひ方」は、誰にも「否定できず」、それ故、「常に真（トートロジー）」である。
従って、
（22）（23）により、
（24）
「　　Ｐ→　Ｐ　」＝「ＰならばＰである。」⇔
「　～Ｐ→～Ｐ　」＝「ＰでないならばＰでない。」⇔
「　～Ｐ∨　Ｐ　」＝「Ｐでないか、または、Ｐである。」⇔
「～（Ｐ＆～Ｐ）」＝「ＰであってＰでない。といふことはない。」
といふ「４通りの、言ひ方」は、「当然のこと」を述べてゐるのと「同時」に、「矛盾（Ｐ＆～Ｐ）」は、「否定」しなければならない。
といふことを、述べてゐる。
（25）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義α
１（４）　　　～Ｑ　前件否定
然るに、
（26）
　Ｐ＝Ａは外国人である。とすれば、
～Ｐ＝Ａは日本人である。
　Ｑ＝Ａは女性である。　とすれば、
～Ｑ＝Ａは男性である。
従って、
（25）（26）により、
（27）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義α
１（４）　　　～Ｑ　１３前件否定
といふ「計算」が「正しい」のであれば、
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
からは、「どのような結論」をも、得ることが出来る。
然るに、
（28）
前件否定（ぜんけんひてい、英: Denying the antecedent）は、誤謬の一種であり、次のような推論の論証形式に関する誤謬である。
もし Ｐ ならば、Ｑ である。
Ｐ ではない。
従って、Ｑ ではない。
この形式の主張は妥当ではない。この形式の論証はたとえ前提が真であっても、結論を導く推論過程に瑕疵がある（ウィキペディア）。
従って、
（27）（28）により、
（29）
１（１）～Ｐ　　　　Ａ
１（２）～Ｐ∨　Ｑ　１∨Ｉ
１（３）　Ｐ→　Ｑ　３含意の定義α
１（４）　　　～Ｑ　１３前件否定
といふ「計算（前件否定の誤謬）」は「マチガイ」である。
然るに、
（30）
１（１）～Ｐ＆Ｐ　Ａ
１（２）～Ｐ　　　１＆Ｅ
１（３）～Ｐ∨Ｑ　２∨Ｉ
１（４）　Ｐ→Ｑ　３含意の定義α
１（５）　Ｐ　　　１＆Ｅ
１（６）　　　Ｑ　４５ＭＰＰ
といふ「計算」は、「正しい」。
従って、
（30）により、
（31）
１（１）～Ｐ＆Ｐ　Ａ
といふ「矛盾（～Ｐ＆Ｐ）」を「仮定」すれば、どのやうな「結論（Ｑ）」であって、「否定」出来ない。
然るに、
（32）
１（１）　　～Ｐ＆Ｐ　　Ａ
　（２）～（～Ｐ＆Ｐ）　１１ＲＡＡ
従って、
（33）
「自然演繹（Natural deduction）」では、
１（１）　　～Ｐ＆Ｐ　　Ａ
　（２）～（～Ｐ＆Ｐ）　１１ＲＡＡ
といふ具合に、「矛盾（～Ｐ＆Ｐ）」を「仮定（Ａ）」すると、ただちに、「背理法（ＲＡＡ）」によって、「否定」される。