（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
１ （４） Ｐ １＆Ｅ
１ ３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １３ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
１ （８） Ｑ １＆Ｅ
１ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１ ２ （４） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７（７） ～Ｑ Ａ
７（８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７（９） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
（02）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆I
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）により、
（04）
⑤ ～（ Ｐ＆ Ｑ）
⑥ ～～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑦ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
⑦＝⑧ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（04）により、
（05）
「二重否定律」により、
⑤ ～（ Ｐ＆ Ｑ）
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑦ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
⑦＝⑧ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（04）（05）により、
（06）
① Ｐ＆ Ｑ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）
③ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑤ ～（ Ｐ＆ Ｑ）
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑦ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
⑦＝⑧ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１ （１） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ ＆ Ｓ） Ａ
１ （２）～｛（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆ Ｓ｝ １結合法則
１ （３） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）∨～Ｓ ２ド・モルガンの法則
４ （４） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
４ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ４ド・モルガンの法則
４ （６） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨ ～Ｓ ５∨Ｉ
７（７） ～Ｓ Ａ
７（８） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨ ～Ｓ ７∨Ｉ
１ （９） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨ ～Ｓ ３４６７８∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨ ～Ｓ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）∨～Ｓ １結合法則
３ （３） （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）∨～Ｓ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｓ Ａ
６（７） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）∨～Ｓ ６∨Ｉ
１ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）∨～Ｓ ２３５６７∨Ｅ
１ （９）～｛（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆ Ｓ｝ ８ド・モルガンの法則
１ （ア） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ ＆ Ｓ） ９結合法則
従って、
（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）
② ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ
に於いて、
Ｐ＝（象ａ→動物ａ）
Ｑ＝（象ｂ→動物ｂ）
Ｒ＝（象ｃ→動物ｃ）
Ｓ＝（象ｄ→動物ｄ）
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～｛（象ａ→動物ａ）＆ （象ｂ→動物ｂ）＆ （象ｃ→動物ｃ）＆ （象ｄ→動物ｄ）｝
② ～（象ａ→動物ａ）∨～（象ｂ→動物ｂ）∨～（象ｃ→動物ｃ）∨～（象ｄ→動物ｄ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（10）
（ⅱ）
１ （１） ～（象ａ→ 動物ａ） Ａ
２ （２） ～（象ａ＆～動物ａ） Ａ
３ （３） 象ａ Ａ
４（４） ～動物ａ Ａ
３４（５） 象ａ＆～動物ａ ３４＆Ｉ
２３４（６） ～（象ａ＆～動物ａ）＆
（象ａ＆～動物ａ） ２５＆Ｉ
２３ （７） ～～動物ａ ４６ＲＡＡ
２３ （８） 動物ａ ７ＤＮ
２ （９） 象ａ→ 動物ａ ３８ＣＰ
１２ （ア） ～（象ａ→ 動物ａ）＆
（象ａ→ 動物ａ） １９＆Ｉ
１ （イ）～～（象ａ＆～動物ａ） ２９ＲＡＡ
１ （ウ） 象ａ＆～動物ａ イＤＮ
（ⅲ）
１ （１） 象ａ＆～動物ａ Ａ
２ （２） 象ａ→ 動物ａ Ａ
１ （３） 象ａ １＆Ｅ
１２ （４） 動物ａ ２３ＭＰＰ
１ （５） ～動物ａ １＆Ｅ
１２ （６） 動物ａ＆～動物ａ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（象ａ→ 動物ａ） ２６ＲＡＡ
従って、
（10）により、
（11）
② ～（象ａ→ 動物ａ）
③ 象ａ＆～動物ａ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
① ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆ （象ｂ→ 動物ｂ）＆ （象ｃ→ 動物ｃ）＆ （象ｄ→ 動物ｄ）｝
② ～（象ａ→ 動物ａ）∨～（象ｂ→ 動物ｂ）∨～（象ｃ→ 動物ｃ）∨～（象ｄ→ 動物ｄ）
③ （象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ）∨ （象ｄ＆～動物ｄ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝が、｛変域｝であるとすると、
① ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆ （象ｂ→ 動物ｂ）＆ （象ｃ→ 動物ｃ）＆ （象ｄ→ 動物ｄ）｝
② ～（象ａ→ 動物ａ）∨～（象ｂ→ 動物ｂ）∨～（象ｃ→ 動物ｃ）∨～（象ｄ→ 動物ｄ）
③ （象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ）∨ （象ｄ＆～動物ｄ）
といふ「論理式」は、
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
② ∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ）
③ ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
といふ「述語論理式」に、「等しい」。
ｃｆ.
１ （１）～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ） Ａ
１ （２）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １量化子の関係
３（３） ～（象ａ→動物ａ） Ａ
３（４） ～（～象ａ∨動物ａ） ３含意の定義
３（５） 象ａ＆～動物ａ ４ド・モルガンの法則
３（６）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） ５ＥＩ
１ （７）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） １３６ＥＥ
（ⅲ）
１ （１）∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
２（２） 象ａ＆～動物ａ Ａ
２（３） ～（～象ａ∨動物ａ） ２ド・モルガンの法則
２（４） ～（象ａ→動物ａ） ３含意の定義
２（５）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ～（象ｘ→動物ｘ） １２５ＥＥ
従って、
（12）（13）により、
（14）
「番号」を付け直すと、
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡～｛（象ａ→ 動物ａ）＆ （象ｂ→ 動物ｂ）＆ （象ｃ→ 動物ｃ）＆ （象ｄ→ 動物ｄ）｝
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡ （象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ）∨ （象ｄ＆～動物ｄ）
といふ「２つの等式」に於いて、
①＝② である。
然るに、
（15）
① ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆（象ｂ→ 動物ｂ）＆（象ｃ→ 動物ｃ）＆（象ｄ→ 動物ｄ）｝
② （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）∨（象ｄ＆～動物ｄ）
といふ「論理式」は、
①｛（ａが象ならば、ａは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり、）尚且つ（ｃが象ならば、ｃは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり。）｝といふわけではない。
② （ａといふ象は動物ではない）か、（ｂといふ象は動物ではない）か、（ｃといふ象は動物ではない）か、（ｄといふ象は動物ではない）。
といふ「意味」である。
然るに、
（16）
｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝が、｛変域｝であるとすると、
①｛（ａが象ならば、ａは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり、）尚且つ（ｃが象ならば、ｃは動物であり、）尚且つ（ｂが象ならば、ｂは動物であり。）｝といふわけではない。
② （ａといふ象は動物ではない）か、（ｂといふ象は動物ではない）か、（ｃといふ象は動物ではない）か、（ｄといふ象は動物ではない）。
といふ「日本語」は、
①｛すべての象が動物である。｝といふわけではない。
② ある象は、動物ではない。
といふ「意味」である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（すべての象が動物である。）といふわけではない。
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡ ある象は、動物ではない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（17）により、
（18）
① ～～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）≡（すべての象が動物である。）といふわけではない。ではない。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡（ある象が、動物ではない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定」により、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡（すべての象が動物である。）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡（ある象が、動物ではない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨ ～Ｒ∨～Ｓ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ） ２結合法則
２ （４） ～Ｐ∨［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］ ３結合法則
５ （５） ～Ｐ Ａ
１ （６） Ｐ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｐ＆Ｐ ５６＆Ｉ
５ （８） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １７ＲＡＡ
９ （９） ［～Ｑ∨（～Ｒ∨～Ｓ）］ Ａ
ア （ア） ～Ｑ Ａ
１ （イ） Ｑ １＆Ｅ
１ ア （ウ） ～Ｑ＆Ｑ アイ＆Ｉ
ア （エ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １ウＲＡＡ
オ （オ） （～Ｒ∨～Ｓ） Ａ
カ （カ） ～Ｒ Ａ
１ （キ） Ｒ １＆Ｅ
１ カ （ク） ～Ｒ＆Ｒ カキ＆Ｉ
カ （ケ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １９ＲＡＡ
コ（コ） ～Ｓ Ａ
１ （サ） Ｓ １＆Ｅ
１ コ（シ） ～Ｓ＆Ｓ コサ＆Ｉ
コ（ス） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １シＲＡＡ
オ （セ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） オカケコス∨Ｅ
９ （ソ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） ９アエオセ∨Ｅ
２ （タ） ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） ４５８９ソ∨Ｅ
１２ （チ） （Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ） １タ＆Ｉ
１ （ツ）～（～Ｐ∨ ～Ｑ∨ ～Ｒ∨～Ｓ） ２チＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ４∨Ｉ
１ ２ （６） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １５＆Ｉ
１ （７） ～～Ｐ ２６ＲＡＡ
１ （８） Ｐ ７ＤＮ
９ （９） ～Ｑ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ ９∨Ｉ
９ （イ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ア∨Ｉ
９ （ウ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ イ∨Ｉ
１ ９ （エ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １ウ＆Ｉ
１ （オ） ～～Ｑ ９エＲＡＡ
１ （カ） Ｑ オＤＮ
キ （キ） ～Ｒ Ａ
キ （ク） ～Ｒ∨～Ｓ キ∨Ｉ
キ （ケ） ～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ク∨Ｉ
キ （コ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ケ∨Ｉ
１ キ （サ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １コ＆Ｉ
１ （シ） ～～Ｒ キサＲＡＡ
１ （ス） Ｒ シＤＮ
エ（セ） ～Ｓ Ａ
エ（ソ） ～Ｒ∨～Ｓ セ∨Ｉ
エ（タ） ～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ ソ∨Ｉ
エ（チ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ タ∨Ｉ
１ エ（ツ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ） １チ＆Ｉ
１ （テ） ～～Ｓ エツＲＡＡ
１ （ト） Ｓ テＤＮ
１ （ナ） Ｐ＆ Ｑ ８カ＆Ｉ
１ （ニ） Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ スナ＆Ｉ
１ （ヌ） Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ＆ Ｓ トニ＆Ｉ
といふ「命題計算（Propositional calculus）」が、「妥当」であるが故に、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡（すべての象は動物である。）
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡（ある象が、動物ではない。）といふことはない。
といふ「等式」が、成立する。
従って、
（20）により、
（21）
「命題計算（Propositional calculus）」が無ければ、
「述語計算（Predicate calculus）」は、成り立たない。