（01）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７肯定肯定式
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウク条件去
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆～Ｑ）＆
～（Ｐ＆～Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（Ｐ＆～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨ Ｑ）＆
（～Ｐ∨ Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨ Ｑ オＤＮ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
④ ～（Ｐ＆～Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑでない。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）により、
（03）
「二重否定律」により、
① Ｐ→～Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑでない。
② ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
③ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（04）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅴ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
（ⅵ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
従って、
（04）により、
（05）
⑤ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑥ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（05）により、
（06）
「二重否定律」により、
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑥ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（02）（03）（06）により、
（07）
① Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆ Ｑ） ≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。
② ∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）
④ すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（08）により、
（09）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② ～∀ｘ（象ｘ→動物ｘ）
③ ～｛（象ａ→動物ａ）＆（象ｂ→動物ｂ）＆（象ｃ→動物ｃ）｝
④｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（10）
１（１）～｛（象ａ→動物ａ）＆ （象ｂ→動物ｂ）＆ （象ｃ→動物ｃ）｝ Ａ
１（２） ～（象ａ→動物ａ）∨ ～（象ｂ→動物ｂ）∨ ～（象ｃ→動物ｃ） １ド・モルガンの法則
１（３）～（～象ａ∨動物ａ）∨～（～象ｂ∨動物ｂ）∨～（～象ｃ∨動物ｃ） ２含意の定義
１（４） （象ａ＆～動物ａ）∨ （象ｂ＆～動物ｂ）∨ （象ｃ＆～動物ｃ） ３ド・モルガンの法則
（10）により、
（11）
③ ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆（象ｂ→ 動物ｂ）＆（象ｃ→ 動物ｃ）｝
⑤ （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
に於いて、
③＝⑤ である。
然るに、
（12）
⑤（象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
といふことは、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
然るに、
（13）
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
（ⅰ）（象ａ＆～動物ａ）
（ⅱ）（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅲ）（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅳ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）
（ⅴ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅵ）（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
（ⅶ）（象ａ＆～動物ａ）＆（象ｂ＆～動物ｂ）＆（象ｃ＆～動物ｃ）
といふ「７通りの、どれか１つが、真である」といふことに、「等しい」。
といふことは、
｛ａ、ｂ、ｃ｝の中に、
⑥ 動物ではない、象がゐる。
といふことに、「等しい」。
然るに、
（14）
⑥ 動物ではない、象がゐる。
⑦ ∃ｘ（象ｘ＆～動物）
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（09）（11）（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
｛ａ、ｂ、ｃ｝が｛変域（すべてのｘ）｝であるとして、
① 象は動物である。ではない。
② 動物ではない、象がゐる。
③ ～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
④ ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
⑤ ～｛（象ａ→ 動物ａ）＆（象ｂ→ 動物ｂ）＆（象ｃ→ 動物ｃ）｝
⑥ （象ａ＆～動物ａ）∨（象ｂ＆～動物ｂ）∨（象ｃ＆～動物ｃ）
⑦｛すべてのｘについて（ｘが象であるならば、ｘは動物である）。｝といふわけではない。
⑧ ある（ｘは象であるが、動物ではない）。
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥＝⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「番号」を付け替へると、
① ～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）
② ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（16）により、
（17）
「二重否定律」により、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（18）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） Ａ
２ （２） ∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１ （３） 象ａ→ 動物ａ １ＵＥ
４（４） 象ａ＆～動物ａ Ａ
４（５） 象ａ ４＆Ｅ
１ ４（６） 動物ａ ３５ＭＰＰ
４（７） ～動物ａ ４＆Ｅ
１ ４（８） 動物ａ＆～動物ａ ６７＆Ｉ
４（９）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） １８ＲＡＡ
２ （ア）～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） ２４９ＥＥ
１２ （イ） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）＆
～∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） １ア＆Ｉ
１ （ウ）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） ２イＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（象ｘ＆～動物ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（象ａ＆～動物ａ） ２ＵＥ
４ （４） 象ａ Ａ
５（５） ～動物ａ Ａ
４５（６） 象ａ＆～動部ａ ４５＆Ｉ
１４５（７） ～（象ａ＆～動物ａ）＆
（象ａ＆～動物ａ） ３６＆Ｉ
１４ （８） ～～動物ａ ５７ＲＡＡ
１４ （９） 動物ａ ８ＤＮ
１ （ア） 象ａ→ 動物ａ ４９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ） アＵＩ
従って、
（18）により、
（19）
「述語計算（Predicate calculus）」自体として、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（19）により、
（20）
① Ｐ→ Ｑ ≡ Ｐであるならば、Ｑである。
② ～Ｐ∨ Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑである。
③ ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
④ ～（Ｐ＆ Ｑ） ≡（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
⑤ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
⑥ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）≡（Ｐであって、Ｑであって、Ｒでる。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
といふ「等式(命題論理）」が、成り立つが故に、
① ∀ｘ（象ｘ→ 動物ｘ）≡すべての象は、動物である。
② ～∃ｘ（象ｘ＆～動物ｘ）≡動物でない象は、存在しない。
に於いて、
①＝② である。
といふ「等式（述語論理）」が、成立する。