（01）
「太郎かあるいは次郎が辞書をもっている」と言われるとき、「太郎が辞書をもっている」と「次郎が辞書をもっている」の二つの命題は同時に真になることが可能である。このような選言は両立的選言（弱選言）と呼ばれる。
「太郎は３階か５階にいる」と言われるとき、「太郎は３階にいる」と「太郎は５階にいる」の命題が同時に真になることはありえない。このような選言は排他的選言（強選言）である。
論理学の「・・・あるいは・・・」は両立的選言に取り決めてある。それは論理学の体系がシンプルなものになるからである。とりわけ、∨を両立的選言の方に決めておけば、排他的選言の方は∨と＆と～とによって簡単に表現できる ―（Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）―（飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄、論理学の基礎、1994年、１１頁改）
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ∨Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
１ （２） Ｐ∨Ｑ １＆Ｅ
１ （３）～～Ｐ∨Ｑ ２ＤＮ
１ （４） ～Ｐ→Ｑ ３含意の定義
１ （５） ～（Ｐ＆Ｑ） １＆Ｅ
１ （６） ～Ｐ∨～Ｑ ５ド・モルガンの法則
１ （７） Ｐ→～Ｑ ６含意の定義
（８） ～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
９ （９） ～Ｐ Ａ
１９ （ア） Ｑ ４９ＭＰＰ
１９ （イ） ～Ｐ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
１９ （ウ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） イ∨Ｉ
エ（エ） Ｐ Ａ
１ エ（オ） ～Ｑ ７エＭＰＰ
１ オ（カ） Ｐ＆～Ｑ エオ＆Ｉ
１ オ（キ）（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） カ∨Ｉ
１ （ク）（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） ８９ウオキ∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
２ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ （６） ～Ｐ∨～Ｑ ５∨Ｉ
２ （７）～（Ｐ＆ Ｑ） ６ド・モルガンの法則
２ （８） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ４７＆Ｉ
９（９） ～Ｐ＆Ｑ Ａ
９（ア） ～Ｐ ９＆Ｉ
９（イ） ～Ｐ∨～Ｑ ア∨Ｉ
９（ウ） ～（Ｐ＆ Ｑ） イ、ド・モルガンの法則
９（エ） Ｑ ９＆Ｅ
９（オ） Ｐ∨ Ｑ エ∨Ｉ
９（カ） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） ウオ＆Ｉ
１ （キ） （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ） １２８９カ∨Ｅ
従って、
（02）により、
（03）
①（Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
②（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （３） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ２∨Ｉ
４（４） （～Ｐ＆Ｑ） Ａ
４（５） （Ｑ＆～Ｐ） ４交換法則
４（６） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ５∨Ｉ
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） １２３４６∨Ｅ
１ （８）～｛～（Ｐ＆～Ｑ）＆～（Ｑ＆～Ｐ）｝ ７ド・モルガンの法則
１ （９） ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆ （Ｑ→ Ｐ）｝ ８含意の定義（Ⅱ）
１ （ア） ～（Ｐ⇔ Ｑ） ９Ｄｆ．⇔
（ⅲ）
１ （１） ～（Ｐ⇔ Ｑ） Ａ
１ （２） ～｛（Ｐ→ Ｑ）＆ （Ｑ→ Ｐ）｝ １Ｄｆ.⇔
１ （３）～｛～（Ｐ＆～Ｑ）＆～（Ｑ＆～Ｐ）｝ ２含意の定義（Ⅱ）
１ （４） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （Ｑ＆～Ｐ） ３ド・モルガンの法則
５ （５） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
５ （６） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （～Ｐ＆Ｑ） ５∨I
７（７） （Ｑ＆～Ｐ） Ａ
７（８） （～Ｐ＆Ｑ） ７交換法則
７（９） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （～Ｐ＆Ｑ） ８∨Ｉ
１ （ア） （Ｐ＆～Ｑ）∨ （～Ｐ＆Ｑ） １５９７９∨Ｅ
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
実を言ふと、この「計算」は、かなり、難しかった。
従って、
（03）（05）により、
（06）
① （Ｐ∨ Ｑ）＆～（Ｐ＆Ｑ）
② （Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ＆Ｑ）
③ ～（Ｐ⇔ Ｑ）
に於いて、
①＝② であって、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
「日本語」で言ふと、
①（Ｐであるか、または、Ｑである）が、ただし（Ｐであって、Ｑである）といふことはない。
②（Ｐであって、Ｑでないか）、または（Ｐでなくて、Ｑである）。
③（ＰとＱの「真理値」が一致する）といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
（08）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）
③ （ＰとＱの「真理値」が一致する）といふことはない。
といふことは、
（ⅰ）ＰとＱ の、両方とも「真」であることは、無く、
（ⅱ）ＰとＱ の、両方とも「偽」であることも、無い。
といふことである。
然るに、
（09）
（ⅰ）ＰとＱ の、両方とも「真」であることは、無く、
（ⅱ）ＰとＱ の、両方とも「偽」であることも、無い。
といふことは、
（ⅲ）Ｐが「真」であって、Ｑが「偽」であるか、
（ⅳ）Ｑが「真」であって、Ｐが「偽」であるかの、いづれか、一方である。
従って、
（01）（07）（08）（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「強選言（排他的選言）」であるならば、
（α）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（β）Ｐでない。 従って、Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」であり、
（γ）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（δ）Ｐである。 従って、Ｑでない。
といふ「推論」も、「妥当」である。
然るに、
（01）により、
（11）
④ Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「弱選言（両立的選言）」であるならば、
（α）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（β）Ｐでない。 従って、Ｑである。
といふ「推論」は、「妥当」であるが、
（γ）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（δ）Ｐである。 従って、Ｑでない。
といふ「推論」は、「妥当」ではない。
従って、
（12）
（α）Ｐであるか、または、Ｑである。然るに、
（β）Ｐでない。 従って、Ｑである。
といふ「推論（選言三段論法）」であれば、
③ ～（Ｐ⇔Ｑ）≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「強選言（排他的選言）」であっても、
④ Ｐ∨Ｑ≡Ｐであるか、または、Ｑである。
といふ「弱選言（両立的選言）」であっても、
両方とも、「妥当」である。