（01）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
ａ≠ｂ
ａ≠ｃ
ｂ≠ｃ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「３個の個体からなる、集合」である。
然るに、
（02）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
ａ＝ａ
ｂ＝ａ
ｃ＝ａ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、
｛ａ、ａ、ａ｝に、「等しい」。
然るに、
（03）
「冪等律（Idempotent）」により、
｛ａ、ａ、ａ｝は、
｛ａ｝ に、「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、「個体（individuals）」であるとして、
ａ＝ａ
ｂ＝ａ
ｃ＝ａ
であるならば、
｛ａ、ｂ、ｃ｝は、すなはち、
｛ａ｝ といふ「１個の個体からなる、集合」である。
従って、
（04）により、
（05）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝⇔
① あるｘについて｛ｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘ＝ｙである）｝。
といふのであれば、この場合は、
①「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２（５） Ｆｂ→ａ＝ｂ ４ＵＥ
２（６） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ５含意の定義
２（７） ａ＝ｂ＆～Ｆｂ ６交換法則
２（８） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ７ド・モルガンの法則
２（９） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ８ＵＩ
２（ア） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ９量化子の関係
２（イ） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ イＥＩ
１ （エ）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ １２ウＥＥ
（ⅱ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝ Ａ
２（２） Ｆａ＆～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） ～∃ｙ（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ２＆Ｅ
２（５） ∀ｙ～（ａ≠ｙ＆Ｆｙ） ４量化子の関係
２（６） ～（ａ≠ｂ＆Ｆｂ） ５ＵＥ
２（７） ａ＝ｂ∨～Ｆｂ ６ド・モルガンの法則
２（８） ～Ｆｂ∨ａ＝ｂ ７交換法則
２（９） Ｆｂ→ａ＝ｂ ８含意の定義
２（ア） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ９ＵＩ
２（イ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３ア＆Ｉ
２（ウ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ イＥＩ
１ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ １２ウＥＥ
従って、
（06）により、
（07）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝⇔
② あるｘは｛Ｆであり、（ｘ以外に、Ｆであるｙ）は存在しない｝。
といふのであれば、この場合も、
②「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
従って、
（05）（08）により、
（09）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆ ∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛Ｆｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｆｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
①「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
②「１個の個体だけが、性質Ｆを持ってゐる。」
といふ「意味」である。
従って、
（10）
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「述語論理式」は、
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
問題５.
「ラッセルの確定記述の理論」を用いて、つぎの論証の健全性を確立せよ。
（ａ）マイン・カンプの著者は１９４５年に死んだ。ヒトラーはマイン・カンプを書いた。故にヒトラーは１９４５年に死んだ。
（ａ）The author of Mine Kamp died in 1945. Hitler wrote Mine Kamp. Hitler therefore died in 1945.
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、２１５頁改）
〔私による解答〕
１ （１）∃ｘ（我が闘争ｘ＆４５年死ｘ） Ａ
２ （２） 我が闘争ａ＆４５年死ａ Ａ
３ （３）∃ｙ｛ヒトラーｙ＆我が闘争ｙ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
４（４） ヒトラーｂ＆我が闘争ｂ＆∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） Ａ
４（５） ∀ｘ（我が闘争ｘ→ｘ＝ｂ） ４＆Ｅ
４（６） 我が闘争ａ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
２ （７） 我が闘争ａ ２＆Ｅ
２ ４（８） ａ＝ｂ ６７ＭＰＰ
４（９） ヒトラーｂ ４＆Ｅ
２ ４（ア） ヒトラーａ ８９＝Ｅ
２ （イ） ４５年死ａ ２＆Ｅ
２ ４（ウ） ヒトラーａ＆４５年死ａ アイ＆Ｉ
２ ４（エ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ウＥＩ
２３ （オ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） ３４エＥＥ
１ ３ （カ）∃ｘ（ヒトラーｘ＆４５年死ｘ） １２オＥＥ
１ ３ （〃）あるｘはヒトラーであって１９４５年に死んだ。 １２オＥＥ
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
①「性質（ヒトラーといふ名である）を持ってゐる１個の個体だけが、性質（我が闘争の著者である）を持ってゐる。」
といふ「意味」であるところ、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「論理式」は、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」である。
然るに、
（13）
仮に、「我が闘争（Mine Kamp）」が、「ヒトラーと、他の誰かによる、共著」であったとしたら、
（ａ）The author of Mine Kamp ではなく、
（ａ）The authors of Mine Kamp となると「同時」に、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
でなければ、ならない。
然るに、
（14）
定冠詞（the）は、それが厳密に用いられるときには、一意性を内含している。確かに、しかじかのひと（So-and-so）がいく人かの息子をもっている場合でさえ、the son of So-and-so という表現を使用するが、本当はその場合には、a son of So-and-so という方がより正しいといえよう。それゆえわれわれの目的のためには、the は一意性を内含しているものと考えていく（頸草書房、現代哲学基本論文集Ⅰ、バートランド・ラッセル、指示について、1986年、５３頁）。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
（ａ）The author of Mine Kamp
がそうであるやうに、
（ａ）The（定冠詞）＋名詞（単数）
でなければ、
① ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆ ∀ｙ（我が闘争ｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘ｛ヒトラーｘ＆我が闘争ｘ＆～∃ｙ（ｘ≠ｙ＆我が闘争ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、「ラッセルの確定記述の理論」に基づくところの、「論理式」は、成立しない。