（01）
① Ｐ ≡ Ｐである。
② （～Ｐ）≡（Ｐでない）。
に於いて、
①＆② は、「矛盾」である。
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ ≡ Ｐである。
② ～（～Ｐ）≡（Ｐでない）ではない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
③ Ｐ＆ Ｑ ≡ Ｐであって、その上、Ｑである。
④ （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
③＆④ は、「矛盾」である。
従って、
（03）により、
（04）
③ Ｐ＆ Ｑ ≡ Ｐであって、その上、Ｑである。
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、その両方である）ではない。
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（05）
（ⅴ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（05）により、
（06）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（07）
（ⅶ）
１ （１） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ（代表的選言項）
２ （４） ～Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ＆ Ｒ Ａ（代表的選言項）
２ （８） ～Ｑ∨～Ｒ ２＆Ｅ
７ （９） Ｑ ７＆Ｅ
ア （ア） ～Ｑ Ａ（代表的選言項）
７ア （イ） Ｑ＆～Ｑ ９ア＆Ｉ
ア （ウ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７イＲＡＡ
７ （エ） Ｒ ２＆Ｅ
オ（オ） ～Ｒ Ａ（代表的選言項）
７ オ（カ） Ｒ＆～Ｒ エオ＆Ｉ
オ（キ） ～（Ｑ＆ Ｒ） ７カＲＡＡ
２ （ク） ～（Ｑ＆ Ｒ） ８アウオキ∨Ｅ
２ ７ （ケ）（Ｑ＆Ｒ）＆～（Ｑ＆ Ｒ） ７ク＆Ｉ
７ （コ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ ２ケＲＡＡ
１ （サ） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
（ⅷ）
１ （１） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １３６７コ∨Ｅ
２ （２） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ３∨Ｉ
２３ （５） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２４＆Ｉ
２ （６） ～Ｐ ３ＲＡＡ
７ （７） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ（for背理法）
２ ７ （８） ～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ） ６７＆Ｉ
１２ ７ （９） ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝＆
｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝ １８＆Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｑ∨～Ｒ） ７９ＲＡＡ
イ （イ） ～Ｑ Ａ（for背理法）
イ （ウ） ～Ｑ∨～Ｒ イ∨Ｉ
１２ イ （エ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アウ＆Ｉ
１２ （オ） ～～Ｑ イエＲＡＡ
１２ （カ） Ｑ オＤＮ
キ（キ） ～Ｒ Ａ（for背理法）
キ（ク） ～Ｑ∨～Ｒ キ∨Ｉ
１２ キ（ケ） ～（～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｑ∨～Ｒ） アク＆Ｉ
１２ （コ） ～～Ｒ キケＲＡＡ
１２ （サ） Ｒ コＤＮ
１２ （シ） Ｑ＆ Ｒ カサ＆Ｉ
１２ （ス） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） シ∨Ｉ
１２ （セ） ～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝＆
｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ス＆Ｉ
１ （ソ） ～～｛Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）｝ ２ＲＡＡ
１ （タ） Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ） ソＤＮ
従って、
（07）により、
（08）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
⑦＝⑧ である。
従って、
（02）（04）（06）（08）により、
（09）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ であって、
⑤＝⑥ であって、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（10）
（ⅰ）αとβが「矛盾」するならば、
（ⅱ）βの「否定」は、αに「等しい」。
といふことを以て、
α＝～β
といふ「等式」が、成立するならば、そのときに限って、
α＝～β
といふ「等式」を、「（定義による）ド・モルガンの法則」と呼ぶことにする。
従って、
（09）（10）により、
（11）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（12）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
に加へて、（ ）の位置が、
⑦ （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、
⑦＆⑧ は、「矛盾」する。
従って、
（12）により、
（13）
⑦ Ｐ∨（ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～｛～Ｐ＆（～Ｑ∨～Ｒ）｝
であれば、「矛盾」し、
⑦ （Ｐ∨ Ｑ）＆ Ｒ
⑧ ～｛（～Ｐ＆～Ｑ）∨～Ｒ｝
であったとしも、「矛盾」するため、
⑦ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
は、いづれにせよ、「矛盾」する。
従って、
（10）（11）（12）（13）により、
（14）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（14）により、
（15）
① Ｐ
② ～（～Ｐ）
③ Ｐ＆ Ｑ
④ ～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
が故に、
① ～Ｐ
② ～～（～Ｐ）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～～（～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～～（～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（15）により、
（16）
「二重否定律」により、
① ～Ｐ
② （～Ｐ）
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ （～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
従って、
（14）（15）（16）により、
（17）
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
⑦＝⑧ である。
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
然るに、
（18）
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆ Ｑ）
④ ～Ｐ∨～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨ Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ∨～Ｒ
に於いて、例へば、
Ｑ＝～Ｑ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆ ～Ｑ）
④ ～Ｐ∨～～Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆ ～Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨～～Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨ ～Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～～Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（18）により、
（19）
「二重否定律」により、
① ～Ｐ
② ～Ｐ
③ ～（Ｐ＆～Ｑ）
④ ～Ｐ∨ Ｑ
⑤ ～（Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ）
⑥ ～Ｐ∨ Ｑ∨～Ｒ
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆ Ｑ∨～Ｒ
に於ける、
①＝②
③＝④
⑤＝⑥
⑦＝⑧
といふ「等式」は、４つとも、「（定義による）ド・モルガンの法則」である。
従って、
（19）により、
（20）
⑦ ～（Ｐ∨～Ｑ＆ Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆ Ｑ∨～Ｒ
がそうであるやうに、
⑦ Ｐ∨～Ｑ＆ Ｒ
を「否定」すると、「（定義による）ド・モルガンの法則」により、
⑧ Ｐ は、～Ｐ となり、
⑧ ∨ は、 ＆ となり、
⑧ ～Ｑ は、 Ｑ となり、
⑧ ＆ は、 ∨ となり、
⑧ Ｒ は、～Ｒ となる。