（01）
①（Ｐであって、その上、Ｑである）。
②（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）といふことはない。
といふ「日本語」に於いて、明らかに、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
１ （３） Ｐ １＆Ｅ
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ ４ （５） Ｐ＆～Ｐ ３４＆Ｉ
４ （６） ～（Ｐ＆ Ｑ） １５ＲＡＡ
１ （７） Ｑ １＆Ｅ
８（８） ～Ｑ Ａ
１ ８（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
８（ア） ～（Ｐ＆ Ｑ） １９ＲＡＡ
２ （イ） ～（Ｐ＆ Ｑ） ２４６８ア∨Ｅ
１２ （ウ） （Ｐ＆ Ｑ）＆
～（Ｐ＆ Ｑ） １イ＆Ｉ
１ （エ）～（～Ｐ∨～Ｑ） ２ウＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
７ （７） ～Ｑ Ａ
７ （８） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
１ ７ （９）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） １８＆Ｉ
１ （ア） ～～Ｑ ７９ＲＡＡ
１ （イ） Ｑ アＤＮ
１ （ウ） Ｐ＆ Ｑ ６イ＆Ｉ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆ Ｑ ≡（Ｐであって、その上、Ｑである）。
② ～（～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
従って、
（03）により、
（04）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）により、
（05）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～Ｑ）≡（Ｐでないか、Ｑでないか、または、その両方である）。
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆Ｒ））≡（Ｐであって、その上、Ｑ＆Ｒである）といふことはない。
② （～Ｐ∨～（Ｑ＆Ｒ））≡（Ｐでないか、Ｑ＆Ｒでないか、または、その両方である）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）により、
（06）
① ～（Ｑ＆ Ｒ）≡（Ｑであって、その上、Ｒである）といふことはない。
② （～Ｑ∨～Ｒ）≡（Ｑでないか、Ｒでないか、または、その両方である）。
といふ「論理式・日本語」に於いて、
①＝② である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（04）～（07）により、
（08）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）
② （～Ｐ∨～Ｑ）
に於いて、
Ｑ＝Ｑ＆Ｒ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨ ～Ｑ∨～Ｒ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨（～Ｑ∨～Ｒ） ２結合法則
４ （４） ～Ｐ Ａ
１ （５） Ｐ １＆Ｅ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５＆Ｉ
４ （７）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １６ＲＡＡ
８ （８） （～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
９ （９） ～Ｑ Ａ
１ （ア） Ｑ １＆Ｅ
１ ９ （イ） ～Ｑ＆Ｑ ９ア＆Ｉ
９ （ウ）～（ Ｐ＆ Ｑ ＆Ｒ） １９ＲＡＡ
エ（エ） ～Ｒ Ａ
１ （オ） Ｒ １＆Ｅ
１ エ（カ） ～Ｒ＆Ｒ エオ＆Ｉ
エ（キ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １カＲＡＡ
８ （ク）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ８９ウエキ∨Ｅ
２ （ケ）～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） ３４７８ク∨Ｅ
１２ （コ） （ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）＆
～（ Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ） １ケ＆Ｉ
１ （サ）～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） Ａ
２ （２） ～Ｐ Ａ
２ （３） ～Ｐ∨～Ｑ ２∨Ｉ
２ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ３∨Ｉ
１ ２ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １４＆Ｉ
１ （６） ～～Ｐ ２５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ ６ＤＮ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ７∨Ｉ
８ （ア） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ８∨Ｉ
１ ８ （イ） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） ～Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨～Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ カ∨Ｉ
１ オ（ク） ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ） １オ＆Ｉ
１ （ケ） ～～Ｒ オケＲＡＡ
１ （コ） Ｒ ケＤＮ
１ （サ） Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （シ） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ コサ＆Ｉ
従って、
（09）により、
（10）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（10）により、
（11）
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② ～～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（11）により、
（12）
「二重否定律」により、
① ～（Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ）
② （～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（08）（12）により、
（13）
「代入（Substitution）」の「結果」も、
「命題計算（propositional calsulus）」の「結果」も、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（08）により、 （14）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ）
に於いて、
Ｒ＝Ｒ＆Ｓ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ＆ Ｓ
② ～（～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ∨～Ｓ）
に於いて、
①＝② である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（01）～（14）により、
（15）
「代入」を「繰り返す」ことによって、
「ド・モルガンの法則」は、「無限個の、要素命題」に於いて、成立する。