―「含意の定義」の証明。―
（01）
（ａ）
１ （１） ～Ｐ 仮定
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １選言導入
３ （３） Ｐ＆～Ｑ 仮定
４ （４） ～Ｐ 仮定
３ （５） Ｐ ３
３４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５連言導入
４ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ３６背理法
８ （８） Ｑ 仮定
３ （９） ～Ｑ ３
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９連言導入
８ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３ア背理法
１ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） １４７８イ選言除去
エ （エ） Ｐ 仮定
オ（オ） ～Ｑ 仮定
エオ（カ） Ｐ＆～Ｑ エオ連言導入
１ エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ウカ連言導入
１ エ （ク） ～～Ｑ オキ背理法
１ エ （ケ） Ｑ ク二重否定
１ （コ） Ｐ→ Ｑ エケ条件去
（ｂ）
１ （１） Ｐ→Ｑ 仮定
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） 仮定
３（３） ～Ｐ 仮定
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３選言導入
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４連言導入
２ （６） ～～Ｐ ３５背理法
２ （７） Ｐ ６二重否定
１２ （８） Ｑ １７肯定肯定式
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８選言導入
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９連言導入
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２ア背理法
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イ二重否定
従って、
（01）により、
（02）
① ～Ｐ ├ ～Ｐ∨Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
② ～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
③ Ｐ→Ｑ├ ～Ｐ∨Ｑ
である。
従って、
（03）により、
（04）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
然るに、
（05）
① Ｐ＝天気が良い。
① Ｑ＝釣りに行く。
であるとして、
①（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
③（Ｐ→Ｑ， Ｐ├ Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
④（Ｐ→Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行かない。）
といふ「推論」は、
①（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ， Ｐ├ Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」に「等しい」。
然るに、
（06）
「二重否定律」により、
③ Ｐ≡～～Ｐ
④ Ｐ≡～～Ｐ
であるため、
①（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ， Ｐ├ Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、
①（～Ｐ∨Ｑ， ～Ｐ├ Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ， ～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」に「等しい」。
然るに、
（06）により、
（07）
① ～Ｐ≡Ｒ
② ～Ｐ≡Ｒ
③ ～Ｐ≡Ｒ
④ ～Ｐ≡Ｒ
であるとして、
①（～Ｐ∨Ｑ， ～Ｐ├ Ｑ）
②（～Ｐ∨Ｑ， ～Ｐ├ ～Ｑ）
③（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ Ｑ）
④（～Ｐ∨Ｑ，～～Ｐ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、
①（Ｒ∨Ｑ， Ｒ├ Ｑ）
②（Ｒ∨Ｑ， Ｒ├ ～Ｑ）
③（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ Ｑ）
④（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ ～Ｑ）
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（08）
①（Ｒ∨Ｑ）
といふ「弱選言」は、
①（Ｒであるか、または、Ｑであるか、いづれか一方である。）
といふ「意味」ではなく、
①（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。）
といふ「意味」である。
従って、
（07）（08）により、
（09）
①（Ｒ∨Ｑ， Ｒ├ Ｑ）
②（Ｒ∨Ｑ， Ｒ├ ～Ｑ）
③（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ Ｑ）
④（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、それぞれ、
①（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒである。故に、Ｑである。）
②（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒである。故に、Ｑでない。）
③（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒでない。故に、Ｑである。）
④（Ｒであるか、または、Ｑであるか、または、その両方である。然るに、Ｒでない。故に、Ｑでない。）
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（10）
Ｒ＝日本人である。
Ｑ＝男性である。
として、
①（Ｒ∨Ｑ， Ｒ├ Ｑ）
②（Ｒ∨Ｑ， Ｒ├ ～Ｑ）
③（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ Ｑ）
④（Ｒ∨Ｑ，～Ｒ├ ～Ｑ）
といふ「推論」は、それぞれ、
①（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性である。）
②（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性でない。）
③（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性である。）
④（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性でない。）
といふ「推論」に、「等しい」。
然るに、
（10）により、
（11）
③（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性である。）
といふ「推論」は、明らかに、「妥当（Valid）」であるが、
①（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性である。）
②（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人である。故に、男性でない。）
④（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性でない。）
といふ「推論」は、明らかに、「無効（Invalid）」である。
従って、
（05）～（11）により、
（12）
①（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
③（Ｐ→Ｑ， Ｐ├ Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
④（Ｐ→Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行かない。）
といふ「推論」に於いても、
③（Ｐ→Ｑ， Ｐ├ Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
といふ「推論」は、明らかに、「妥当（Valid）」であるが、
①（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
④（Ｐ→Ｑ， Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行かない。）
といふ「推論」は、「無効（Invalid）」である。
然るに、
（13）
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
の場合は、あるいは、「妥当（Valid）」であると、思へないでもない。
然るに、
（14）
②（Ｐ⇔Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、そのとき限って、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行く。）
といふ「推論」であるならば、「妥当（Valid）」であるが、そうではないため、
②（Ｐ→Ｑ，～Ｐ├ ～Ｑ）≡（天気が良ければ、釣りに行く。天気が悪い。故に、釣りに行かない。）
の場合は、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」といひ、「誤謬」であるため、「妥当（Valid）」ではない。
然るに、
（01）により、
（15）
もう一度、確認すると、
（ａ）
１ （１） ～Ｐ 仮定
１ （２） ～Ｐ∨ Ｑ １選言導入
３ （３） Ｐ＆～Ｑ 仮定
４ （４） ～Ｐ 仮定
３ （５） Ｐ ３
３４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ４５連言導入
４ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ３６背理法
８ （８） Ｑ 仮定
３ （９） ～Ｑ ３
３ ８ （ア） Ｑ＆～Ｑ ８９連言導入
８ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） ３ア背理法
１ （ウ）～（Ｐ＆～Ｑ） １４７８イ選言除去
エ （エ） Ｐ 仮定
オ（オ） ～Ｑ 仮定
エオ（カ） Ｐ＆～Ｑ エオ連言導入
１ エオ（キ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ウカ連言導入
１ エ （ク） ～～Ｑ オキ背理法
１ エ （ケ） Ｑ ク二重否定
１ （コ） Ｐ→ Ｑ エケ条件去
であって、それ故、
① ～Ｐ├ ～Ｐ∨Ｑ├ Ｐ→Ｑ
といふ「連式（Sequents）」は、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（16）
① ～Ｐ├ Ｐ→Ｑ
といふことは、
① Ｐが、「偽」であるならば、
① Ｐ→Ｑ（Ｐであるならば、Ｑである。）
といふ「仮言命題」は、「真」である。
といふことを、「意味」してゐる。
従って、
（16）により、
（17）
例へば、
① バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」が「偽」である。といふ「世界」に於いて、
① バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」は、「真」である。
従って、
（01）～（17）により、
（18）
③（天気が良ければ、釣りに行く。天気が良い。故に、釣りに行く。）
③（日本人であるか、または、男性であるか、または、その両方である。然るに、日本人でない。故に、男性である。）
といふ「推論」が、「妥当（Valid）」であるためには、例へば、
① バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」が、「真」であることが、「必要」となり、こうした「事情」を、「質料含意のパラドック（The paradox of material implication）」といふ。
然るに、
（19）
① バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。
といふ「仮言命題」が、「真」であったとしても、
① バカボンのパパは天才ではない（？）が故に、
① バカボンのパパは天才である。
といふ「命題」は「真」ではなく、「偽」である。
従って、
（19）により、
（20）
（ⅰ）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。然るに、
（ⅱ）バカボンのパパは天才である。従って、
（ⅲ）太陽は西から昇る。
といふ「推論」は、「マチガイ」であって、
（ⅰ）バカボンのパパが天才であるならば、太陽は西から昇る。然るに、
（ⅱ）バカボンのパパは天才ではない。従って、
（ⅲ）太陽は、西からは昇らない。
といふ「推論」は、「前件否定の誤謬（the fallacy of denying the antecedent）」である。