【第3章】
(4)絶対値を含む不等式
絶対値記号の中身の符号で場合分けして、絶対値記号を外す。
(例) |2x-4|≦x+1
i)2x-4≧0のとき、x≧2のとき、
2x-4≦x+1→x≦5/2
よって、2≦x≦5/2…①
ii)2x-4＜0のとき、x＜2のとき、
-(2x-4)≦x+1→3x≧3→x≧1
よって、1≦x＜2…②
①②より、1≦x≦5/2
(例) |(x-1)(x-5)|＞3 【2次不等式】
i)x≦1, 5≦xのとき
(x-1)(x-5)＞3
x^2-6x+5＞3
x^2-6x+2＞0
x＜3-√7, 3+√7＜x
ii)1＜x＜5のとき
-(x-1)(x-5)＞3
-x^2+6x-5＞3
x^2-6x+8＜0
(x-2)(x-4)＜0
2＜x＜4
よって、
x＜3-√7, 2＜x＜4, 3+√7＜x
a＞0とする。
|x|＜a ⇔ -a＜x＜a
|x|＞a ⇔ x＜-a, a＜x
(例) |x-2|＜4
-4＜x-2＜4
-2＜x＜6
絶対値記号がある方程式や不等式を解くときは、
絶対値記号の中身の符号で場合分けして、絶対値記号を外す。
(5)おまけ
|a|^2=a^2を利用して絶対値記号を外す。
(例) |2x-1|=x…①
|2x-1|^2=x^2
4x^2-4x+1=x^2
3x^2-4x+1=0
(3x-1)(x-1)=0
x=1/3,1
ともに①を満たす。
よって、x=1/3,1
