2次関数のグラフを描くとき、2次式を平方完成させ、頂点を見つけて描く。
係数によっては、分数をあれこれと計算することになる。
y=2x^2-3x+1
y=2{x^2-(3/2)x}+1
y=2{x^2-(3/2)x+(9/16)-(9/16)}+1
y=2{x^2-(3/2)x+(9/16)}-9/8+1
y=2(x-3/4)^2-1/8
分数計算が苦手な人は、こんがらがる。
y=ax^2+bx+c→y=a(x-p)^2+q
だから、
y=a(x-p)^2+q=ax^2-2apx+(ap^2+q)
係数を比較して、
-2ap=b→p=-b/(2a)
ap^2+q=c→q=c-ap^2=c-b^2/(4a)
すなわち、
y=2x^2-3x+1
y=2(x-p)^2+q=2x^2-4px+(2p^2+q)
係数を比較して、
-4p=-3→p=3/4
2p^2+q=1→q=1-2p^2=1-9/8=-1/8
よって、y=2(x-3/4)^2-1/8
係数を比較することで、平方完成をすることができる。
(例)
y=(1/2)x^2-3x-(7/2)
y=(1/2)(x-p)^2+q
=(1/2)x^2-px+{(1/2)p^2+q}
係数を比較して
-p=-3→p=3
(1/2)p^2+q=-7/2→q=-7/2-9/2=-8
よって、y=(1/2)(x-3)^2-8
しかし、
(例)y=x^2+6x+5
y=x^2+6x+9-9+5
y=(x+3)^2-4
y=(x-p)^2+q=x^2-2px+(p^2+q)
係数を比較して、
-2p=6→p=-3
p^2+q=5→q=5-p^2=5-(-3)^2=-4
よって、y=(x+3)^2-4
係数によっては、普通の平方完成の方が断然早い。
分数を含む平方完成を厭わない場合は必要はないが、通常の平方完成と係数比較法も知っておいて使い分けるのもいいかも知れない。
円の方程式の平方完成
x^2+y^2+Ax+By+C=0
→
(x+A/2)^2+(y+B)^2=(A/2)^2+(B/2)^2-C
を利用すると楽に変形できる。
(例)x^2+y^2-4x+6y-3=0
→
(x-2)^2+(y+3)^2=2^2+3^2+3=16
しかし色々な場面で利用するので、分数を含む平方完成も慣れておこう。
