大人の数学教室060(複素数③)

【第3章】

(3)複素数の加法と減法

加法 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i

減法 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

(4)複素数の乗法

乗法 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

共役な複素数の特徴

和(a+bi)+(a-bi)=2a

積(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2

和、積は実数となる。

(5)複素数の除法

(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2

は実数を利用。

(c+di)/(a+bi)の分母分子にa-biを掛ける

除法 (c+di)/(a+bi)

={(c+di)(a-bi)}/{(a+bi)(a-bi)}

={(ac+bd)+(ad-bc)i}/(a^2+b^2)

={(ac+bd)/(a^2+b^2)}

+{(ad-bc)/(a^2+b^2)}i

A+Biの形をしている。

(例)

(1+i)/(2+i)

={(1+i)(2-i)}/{(2+i)(2-i)}

={(2+1)+(-1+2)i}/(4+1)

=(3+i)/5

=(3/5)+(1/5)i

√(-1)=iだから、√の有理化と同じように計算する。

複素数の計算では、

iをxと考え、文字式の計算をする。i^2を-1に直す。