【第2章】
(3)1次不定方程式
文字が2個の方程式 ax+by=kを、
「1次不定方程式」という。
a,bの最大公約数をgとすると、kがgの倍数でないときは、解が存在しない。
倍数のときは解が存在する。
(例)18x+7y=1を満たす整数(x,y)を求めよ。
(解)18×2+7×(-5)=36-35=1
辺々を引いて、
18(x-2)+7(y+5)=0
18(x-2)=-7(y+5)
18, 7は互いに素だから、x-2は7の倍数
x-2=7t
18×7t=-7(y+5)
y+5=-18t
よって、(x,y)=(7t+2, -18t-5) tは整数
ax+by=kを満たす1つの整数の組(p,q)を、「特殊解」という。
このとき、
ax+by=kを満たす整数の組は、
(x,y)=(bt+p, -at+q) tは整数
これを、「一般解」という。
(例)29x+13y=1を満たす整数(x,y)を求めよ。
(解)
a=29, b=13とする。
29=13×2+3より、3=29-13×2=a-2b
13=3×4+1より、
1=13-3×4=b-4(a-2b)=-4a+9b
-4a+9b=1
29×(-4)+13×9=1 …特殊解(x,y)=(-4,9)
よって、(x,y)=(13t-4, -29t+9)
ただし、tは整数
