【第5章】
(5)等比数列の和
例12)初項1, 公比3, 項数n の等比数列の和S[n] を求めてみよう。
S[n]=1+3+……+3^(n-1) …①
両辺に公比3 を掛けると
3S[n]=3+3^2……+3^n …②
②-① 2S[n]=3^n-1
よって、S[n]=(3^n-1)/2
初項a, 公比r, 項数n の等比数列の和S[n]
S[n]=a+ar+……+ar^(n-1)
r=1 のとき、S[n]=a+a+……+a=na
r≠1 のとき
S[n]=a+ar+……+ar^(n-1) …①
両辺に公比r を掛けると
rS[n]=ar+ar^2+……+ar^n…②
①-②(1-r)S[n]=a(1-r^n)
S[n]=a(1-r^n)/(1-r)
②-①(r-1)S[n]=a(r^n-1)
S[n]=a(r^n-1)/(r-1)
初項a, 公比r, 項数n の等比数列の和S[n]
r≠1 のとき、
S[n]=a(1-r^n)/(1-r)=a(r^n-1)/(r-1)
r=1 のとき、S[n]=na
