【第10章】
(10)漸化式③
a[n+1]=pa[n]+F[n] …①の一般項
(p≠1, F[n]は多項式)
a[n+1]+g[n+1]=p(a[n]+g[n])とする。
a[n+1]=pa[n]+pg[n]-g[n+1] …②
①②を比較して
pg[n]-g[n+1]=F[n]を満たすg[n]を考えると
{a[n]+g[n]}は、項比pの等比数列
a[n]+g[n]=(a[1]+g[1])×p^(n-1)
a[n]=(a[1]+g[1])×p^(n-1)-g[n]
pg[n]-g[n+1]=F[n]を満たすg[n]
F[n]がm次式→g[n]もm次式
例17)a[1]=1, a[n+1]=2a[n]+2n+1
a[n+1]+s(n+1)+t=2(a[n]+sn+t)
a[n+1]=2a[n]+sn+t-s
与式と比較して、s=2, t=3
{a[n]+2n+3}は項比2の等比数列
a[n]+2n+3=(a[1]+2+3)×2^(n-1)
よって
a[n]=3×2^n-2n-3
