【第8章】
(8)漸化式①
隣り合った2つの項について考える。
公差d の等差数列{a[n]}
a[n+1]-a[n]=d より、a[n+1]=a[n]+d
公比r の等比数列{b[n]}
b[n+1]/b[n]=r より、b[n+1]=b[n]×r
第n+1 項と第n 項の関係式を「二項間漸化式」という。
初項と漸化式から数列を定めることができる。
漸化式 a[n+1]=pa[n]+q …① から一般項を求める。
a[n+1],a[n] をx に置き換えた
x=px+q …②を 、「特性方程式」という。
p=1 のとき、a[n+1]=a[n]+q なので、
公差q の等差数列になる。
a[n]=a[1]+(n-1)q
p≠1 のとき、②の解は、x=α=q/(1-p)
①-② a[n+1]-α=p(a[n]-α)
{a[n]-α}は、初項a[1]-α、公比p の等比数列
a[n]-α=(a[1]-α)×p^(n-1)
よって、a[n]=(a[1]-α)×p^(n-1)+α
例15)a=2, a[n+1]=2a[n]+1 を満たす数列{a[n]}の一般項を求めよ。
特性方程式 x=2x+1 x=-1
よって、
a[n]=(2+1)×2^(n-1)-1=3×2^(n-1)-1
