【第12章】
(12)漸化式⑤
隣り合った3 つの項について考える。
第n+2 項と第n+1 項と第n 項の関係式を
「三項間漸化式」という。
初項と第2項と漸化式から数列を定めることができる。
漸化式 a[n+2]=sa[n+1]+ta[n] から一般項を求める。
特性方程式 x^2-sx-t=0 の解をα,β とする。
(※a[n+2]→x^2,a[n+1]→x,a[n]→1
と置き換え)
s=α+β、t=-αβ
a[n+2]=(α+β)a[n+1]-αβa[n]
a[n+2]-αa[n+1]=β(a[n+1]-αa[n])
数列{a[n+1]-αa[n]}は、
初項a[2]-αa[1]、公比βの等比数列
a[n+1]-αa[n]=(a[2]-αa[1])×β^(n-1) …①
a[n+2]-βa[n+1]=α(a[n+1]-βa[n])
数列{a[n+1]-βa[n]}は、
初項a[2]-βa[1]、公比αの等比数列
a[n+1]-βa[n]=(a[2]-βa[1])×α^(n-1) …②
α=βのとき、①と②は一致する。
a[n+1]-αa[n]=(a[2]-αa[1])×α^(n-1) …③
a[n+1]=αa[n]+(a[2]-αa[1])×α^(n-1)
両辺をα^nで割る。
a[n+1]/α^n
=a[n]/{α^(n-1)}+(a[2]-αa[1])/α
b[n]=a[n]/{α^(n-1)}とする。b[1]=a[1]
b[n+1]=b[n]+(a[2]-αa[1])/α→等差数列
b[n]=b[1]+(n-1)(a[2]-αa[1])/α
よって、
a[n]
=a[1]α^(n-1)+(n-1)(a[2]-αa[1])α^(n-2)
=-(n-2)a[1]α^(n-1)+(n-1)a[2]α^(n-2)
α≠βのとき、①-②
(β-α)a[n]
=(a[2]-βa[1])×α^(n-1)-(a[2]-αa[1])×β^(n-1)
よって、
a[n]
={(a[2]-αa[1])×β^(n-1)-(a[2]-βa[1])×α^(n-1)}/(β-α)
例)a[1]=1, a[2]=1, a[n+2]=a[n+1]+2a[n]
特性方程式x^2=x+2
x^2-x-2=0→(x-2)(x+1)=0→x=2,-1
a[n+2]=(2-1)a[n+1]+2×(-1)a[n]
a[n+2]+a[n+1]=2{a[n+1]+a[n]}
{a[n+1]+a[n]}は公比2の等比数列
a[n+1]+a[n]=(a[2]+a[1])×2^(n-1)
a[n+1]+a[n]=2^n …①
a[n+2]-2a[n+1]=(-1)(a[n+1]-2a[n])
{a[n+1]-2a[n]}は公比-1の等比数列
a[n+1]-2a[n]=(a[2]-2a[1])×(-1)^(n-1)
a[n+1]-2a[n]=(-1)^n …②
①-② 3a[n]=2^n-(-1)^n
よって、a[n]={2^n-(-1)^n}/3
