【第9章】
(9)漸化式②
a[n+1]=a[n]+F[n] の一般項
n≧2 のとき
a[n+1]-a[n]=F[n] だから、
a[n]-a[1]=Σ《k=1,…,n-1》F[k]
a[n]=a[1]+Σ《k=1,…,n-1》F[k]
例16)a[1]=1, a[n+1]=a[n]+2n
n≧2のとき
a[n]=a[1]+Σ《k=1,…,n-1》(2k)
=1+2/2×(n-1)n
=n^2-n+1
n=1のとき、n^2-n+1=1で成り立つから、
a[n]=n^2-n+1
次の三つの型に帰着できる。
①a[n+1]-a[n]=d (等差型)
→a[n]=a[1]+(n-1)d
②a[n+1]=ra[n] (等比型)
→a[n]=a[1]×r^(n-1)
③a[n+1]-a[n]=f[n] (階差型)
→a[n]=a[1] +Σ《k=1,…,n-1》f[k] (n≧2)
