カープ君の部屋

カープファンですが、カープの記事はありません。目指せ!現代版「算額」

大人の数学教室069(整数⑦)

2020-08-25 13:13:05 | 大人の数学教室
【第2章】
(3)1次不定方程式
文字が2個の方程式 ax+by=kを、
1次不定方程式」という。

a,bの最大公約数をgとすると、kがgの倍数でないときは、解が存在しない。
倍数のときは解が存在する。

(例)18x+7y=1を満たす整数(x,y)を求めよ。
(解)18×2+7×(-5)=36-35=1
辺々を引いて、
18(x-2)+7(y+5)=0
18(x-2)=-7(y+5)
18, 7は互いに素だから、x-2は7の倍数
x-2=7t
18×7t=-7(y+5)
y+5=-18t
よって、(x,y)=(7t+2, -18t-5) tは整数

ax+by=kを満たす1つの整数の組(p,q)を、「特殊解」という。
このとき、
ax+by=kを満たす整数の組は、
(x,y)=(bt+p, -at+q) tは整数
これを、「一般解」という。

(例)29x+13y=1を満たす整数(x,y)を求めよ。
(解)
a=29, b=13とする。
29=13×2+3より、3=29-13×2=a-2b
13=3×4+1より、
1=13-3×4=b-4(a-2b)=-4a+9b
-4a+9b=1
29×(-4)+13×9=1 …特殊解(x,y)=(-4,9)

よって、(x,y)=(13t-4, -29t+9)
ただし、tは整数

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大人の数学教室068(整数⑥)

2020-08-24 12:19:51 | 大人の数学教室

整数について、もっと詳しく調べてみよう。

【第1章】
(1)除法の原理
Aを整数とし、Bを自然数とする。
A=Bq+r (0≦r<b)
を満たす(q,r)がただ一つ存在する。

(例)14=5×2+4
-23=5×(-5)+2

(2)ユークリッドの互除法
A,Bは自然数で、A>Bとする。
A=Bq+r (0≦r<B)のとき、
AとBの最大公約数とBとrの最大公約数は等しい。

(∵)AとBの最大公約数をG、Bとrの最大公約数をKとする。
A=Ga, B=Gbとする。
r=A-Bq=Ga-Gbq=G(a-bq)
GはBとrの公約数だから、G≦K
B=Ks, r=Ktとする。
A=Bq+r=Ksq+Kt=K(sq+t)
KはAとBの公約数だから、K≦G
よって、G=K

(例)A=1079, B=1577の最大公約数を求めよ。
(解)1577=1079+498
1079=498×2+83
498=83×6
aとbの最大公約数を、[a,b]と表す。

[1577,1079]=[1079,498]=[498,83]=83

【ユークリッドの互除法の活用】
(1)約分
1577/1079=(83×19)/(83×13)=19/13

(2)通分
1/1577+1/1079
=1/(83×19)+1/(83×13)
=13/(83×19×13)+19/(83×19×13)
=32/(83×19×13)

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3元1次不定方程式

2020-08-21 12:15:00 | 日記
35p+21q+15r=1を満たす整数の組(p,q,r)を求めよ。

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tan9°の値

2020-08-20 12:26:10 | 日記
tan9°の値を求めよ。

ヒント 二重根号がでてきます。
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時事川柳【2020/8/20】

2020-08-20 04:10:50 | 時事川柳
統計の 基本は基準 意味を持つ (鯉正)
(2020/8/20)

コロナ「重症者」定義、国と東京都にズレ 分析に支障も

基準が異なる統計からは何も分からない。
現状把握にもコロナ収束後の検証にも支障をきたす。
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