大人の数学教室069(整数⑦)

【第2章】

(3)1次不定方程式

文字が2個の方程式 ax+by=kを、

「1次不定方程式」という。

a,bの最大公約数をgとすると、kがgの倍数でないときは、解が存在しない。

倍数のときは解が存在する。

(例)18x+7y=1を満たす整数(x,y)を求めよ。

(解)18×2+7×(-5)=36-35=1

辺々を引いて、

18(x-2)+7(y+5)=0

18(x-2)=-7(y+5)

18, 7は互いに素だから、x-2は7の倍数

x-2=7t

18×7t=-7(y+5)

y+5=-18t

よって、(x,y)=(7t+2, -18t-5) tは整数

ax+by=kを満たす1つの整数の組(p,q)を、「特殊解」という。

このとき、

ax+by=kを満たす整数の組は、

(x,y)=(bt+p, -at+q) tは整数

これを、「一般解」という。

(例)29x+13y=1を満たす整数(x,y)を求めよ。

(解)

a=29, b=13とする。

29=13×2+3より、3=29-13×2=a-2b

13=3×4+1より、

1=13-3×4=b-4(a-2b)=-4a+9b

-4a+9b=1

29×(-4)+13×9=1 …特殊解(x,y)=(-4,9)

よって、(x,y)=(13t-4, -29t+9)

ただし、tは整数

大人の数学教室068(整数⑥)

整数について、もっと詳しく調べてみよう。

【第1章】
(1)除法の原理
Aを整数とし、Bを自然数とする。
A=Bq+r (0≦r＜b)
を満たす(q,r)がただ一つ存在する。

(例)14=5×2+4
-23=5×(-5)+2

(2)ユークリッドの互除法
A,Bは自然数で、A＞Bとする。
A=Bq+r (0≦r＜B)のとき、
AとBの最大公約数とBとrの最大公約数は等しい。

(∵)AとBの最大公約数をG、Bとrの最大公約数をKとする。
A=Ga, B=Gbとする。
r=A-Bq=Ga-Gbq=G(a-bq)
GはBとrの公約数だから、G≦K
B=Ks, r=Ktとする。
A=Bq+r=Ksq+Kt=K(sq+t)
KはAとBの公約数だから、K≦G
よって、G=K

(例)A=1079, B=1577の最大公約数を求めよ。
(解)1577=1079+498
1079=498×2+83
498=83×6
aとbの最大公約数を、[a,b]と表す。

[1577,1079]=[1079,498]=[498,83]=83

【ユークリッドの互除法の活用】
(1)約分
1577/1079=(83×19)/(83×13)=19/13

(2)通分
1/1577+1/1079
=1/(83×19)+1/(83×13)
=13/(83×19×13)+19/(83×19×13)
=32/(83×19×13)

3元1次不定方程式

35p+21q+15r=1を満たす整数の組(p,q,r)を求めよ。

tan9°の値

tan9°の値を求めよ。

ヒント 二重根号がでてきます。

時事川柳【2020/8/20】

統計の 基本は基準 意味を持つ (鯉正)

(2020/8/20)

コロナ「重症者」定義、国と東京都にズレ　分析に支障も

基準が異なる統計からは何も分からない。

現状把握にもコロナ収束後の検証にも支障をきたす。