大人の数学教室120(関数⑦)

【第7章】

(7)平方完成②

ax^2+bx+cの平方完成

(i)step1→a=1,b=2Bとする。

x^2+2B+c=x^2+2B+B^2-B^2+c

=(x+B)^2-B^2+c

(point bの半分Bの2乗を足して引く)

例)x^2+6x+8=x^2+6x+(6/2)^2+(6/2)^2+2

=x^2+6x+9-9+8

=(x-3)^2-1

例)x^2-3x+1=x^2-3x+(3/2)^2-(3/2)^2+1

=(x-3/2)^2-9/4+1

=(x-3/2)^2-5/4

(ii)step2

①aでax^2+bxまでくくる。

ax^2+bx+c=a{x^2+(b/a)x}+c

②{ }の中でstep1を使う。

x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2-{b/(2a)}^2

={x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a^2)

③①に代入

ax^2+bx+c

=a{{x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a^2)}+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-b^2/(4a)+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-(b^2-4ac)/(4a)

y=ax^2+bx+c

=a{x^2+(b/a)x}+c

=a{x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2-{b/(2a)}^2}+c

=a{x^2+(b/a)x+{b/(2a)}^2}-b^2/(4a)+c

=a{x+{b/(2a)}}^2-(b^2-4ac)/(4a)

例)2x^2+4x+3

=2(x^2+2x)+3

=2(x^2+2x+1-1)+3

=2(x^2+2x+1)-2+3

=2(x+1)^2+1

大人の数学教室119(関数⑥)

【第6章】

(6)平方完成①

ax^2+bx+c の形を、a(x+h)^2+k の形に変形することを「平方完成」という。

y=ax^2+bx+cをy=a(x-p)^2+qの形に変形することでグラフの様子が分かる。

a(x+h)^2+k=ax^2+2ahx+ah^2+k

係数を比較して

2ah=b→h=b/(2a)

ah^2+k=c

→k=-b^2/(4a)+c=-(b^2-4ac)/(4a)

例)x^2+4x+1

(x+h)^2+k=x^2+2hx+h^2+k

よって、

2h=4→h=2

h^2+k=1→k=1-h^2=1-4=-3

x^2+4x+1=(x+2)^2-3

例)2x^2-5x+1

2(x+h)^2+k=2x^2+4hx+2h^2+k

よって、

4h=-5→h=-5/4

2h^2+k=1→k=1-2h^2=1-25/8=-17/8

2x^2-5x+1=2(x-5/4)^2-17/8

大人の数学教室118(関数⑤)

【第5章】

(5)平行移動

f(x,y)=0のグラフを、x軸方向にp、y軸方向にqの平行移動を考える。

f(x,y)=0上の点を(s,t)とする。

平行移動した点(X,Y)とする。

X,Yの関係式が求める式である。

X=s+p, Y=t+qだから、s=X-p, t=Y-q

(s,t)はf(x,y)=0の点だから、

f(X-p,Y-q)=0

よって、平行移動したグラフを表す式は、

f(x-p,y-q)=0

以上より、

f(x,y)=0のグラフを、x軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したものは、

f(x-p,y-q)=0

2次関数のグラフの平行移動

y=ax^2 のグラフを、x 軸方向にp, y軸方向にq 平行移動させると、

y-q=a(x-p)^2

すなわち、

y=a(x-p)^2+q になる。

y=a(x-p)^2+qのグラフ

頂点が原点(p,q), 軸の方程式がx=p

原形がy=ax^2

008【計算ミスの小学生時代】

@008【計算ミスの小学生時代】

小学生のとき、算数で苦しんだのは計算ミスだった。

授業と授業の間の休憩時間に、「あ！今日の社会の授業でテストがあるんだった。」と思い出すと、あわてて教科書を引っ張り出しテスト範囲のところを読んだ。そしてテスト。6年の1学期はこんな調子が続いたが、ほぼ100点だった。しかし算数はこんな訳にはいかなかった。分かる分かるとテスト時間半分で解くものの、帰って来るテストには計算ミスのオンパレード。100点はほぼ取ったことはない。

自覚はしていたつもりだったが、計算ミスは直らなかった。中学生になって、これではまずいと、途中の式を丁寧に書いて、計算の節目節目で検算をするようになった。計算ミスを随分少なくなった。以後問題を解くときには、それまで考えた部分を書くことに慣れていった。決して頭の中だけでは計算をしなくなった。これが「途中の式を書く」の原点かもしれない。

(2017/12/1)

直角三角形の面積

∠ABC=90°の直角三角形ABCにおいて、各辺の長さは自然数とする。

AB=15のとき、この三角形の面積Sを求めよ。