大人の数学教室135(三角比⑩)

【第10章】

(10)正弦定理を使える場合

①2辺と2角

②外接円の半径と1辺

③外接円の半径と1角

正弦定理より、

sinA:sinB:sinC=a:b:c

例)A=45°,B=75°,a=2のとき、cを求めよ。

C=180°-(A+B)=60°

正弦定理より、

c/sin60°=2/sin45°

csin45°=2sin60°

c×1/√2=2×√3/2

よって、c=√6

(別解)

正弦定理より、

a:c=sinA:sinC=sin45°:sin60°=√2:√3

√2c=2√3

c=√6

例)A=60°, a=3のとき、外接円の半径を求めよ。

正弦定理より、

2R=3/sin60°=6/√3=2√3

よって、R=√3

例)△ABCが半径2の円に内接している。

A=45°のとき、aを求めよ。

正弦定理より、

a/sin45°=2×2

a=4sin45°=2√2

大人の数学教室134(三角比⑨)

【第9章】

(9)正弦定理

正弦定理

△ABCにおいて、外接円の半径をRとする。

a/sinA = b/sinB = c/sinC =2R

【正弦定理の証明】

△ABC の外接円の中心をO とし、半径をR とする。a/sinA=2R を示す。

(i)辺BC が直径の場合

A が円周上の点だから∠BAC=90°

a=2R

a/sinA=2R/sin90°=2R

(ii)辺BCが直径でない場合

円周は長さの異なる2 つの弧に分かれる。

(ii)-1 頂点A が長い弧上の点の場合

直線OBと、点B と異なる円との交点をD とする。BD は直径だから、∠BCD=90°

弧⌒BCの円周角だから、A=∠BAC=∠BDC

sin∠BDC=BC/BD=a/2R

よって、sinA=a/2R a/sinA=2R

(ii)-2 頂点A が短い弧上の点の場合

長い弧上に点E をとると、(ii)-1より

sin∠BEC=a/2R

また、四角形ABEC は円に内接する四角形である。

∠BAC+∠BEC=180° だから、

∠BAC=180°-∠BEC

sinA=sin∠BAC=sin(180°-∠BEC)

=sin∠BEC=a/2R

よって、a/sinA=2R

【証明終】

(対辺)-(対角)がペアになっている。

大人の数学教室133(三角比⑧)

【第8章】

(8)三角比の相互関係②

座標による定義でも、(5)同様の相互関係が成り立つ。

三角比の相互関係

① tanθ=sinθ/cosθ

② (sinθ)^2+(cosθ)^2=1

③ 1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2

例)sinθ=5/13のとき、cosθ, tanθの値を求めよ。

(sinθ)^2+(cosθ)^2=1より、

(cosθ)^2=1-(sinθ)^2=1-25/169=144/169

cosθ=±12/13

cosθ=12/13のとき、tanθ=5/12

cosθ=-12/13のとき、tanθ=-5/12

(※ 三角比の値の範囲に注意)

0°≦θ≦180°のとき、

0≦sinθ≦1

-1≦cosθ≦1

tanθはすべての値

012 【イブと大晦日】

@012【イブと大晦日】

言葉は生き物である。

クリスマスイブの「イブ」は何だろう？と思い調べてみると、面白いことに出くわした。ヨーロッパの昔、教会の暦では日没から翌日の日没までを1日と考えていたのである。だから、クリスマス12月25日を今の日付の感覚で言えば、12月24日の日没から25日の日没までということになる。「イブ」は「イブニング(evening=晩:日没から就寝まで)」と同義なので、12月24日の晩がクリスマスのイブニング、すなわち「クリスマスイブ」というものだった。しかしさらに調べてみると、「イブ」に「(祝祭日の)前日」の意味があるので、クリスマスの前日の12月24日が「クリスマスイブ」というものだった。

12月31日は「大晦日」だ。日本で明治5年まで使っていた暦は、月の満ち欠けを基準に1ヶ月を考え、季節のずれを極力避けるために閏月を入れる太陰太陽暦である。月の満ち欠けは約29.5日の周期なので、1ヶ月を29日か30日としていた。「晦日(みそか)」は、「三十日」の古い表現である。(ついたち、ふつか、よっか、……、とうか、はつか など)そこから、月の末日は「晦日」といい、1年の最後の月の晦日を「大晦日」というようになった。現在では、1年の最後の日(12月31日)を「大晦日」と使われている。

「クリスマスイブ」も「大晦日」も時代とともに使われ方が変化してきた。

(2017/12/27)

ユダヤ教は太陰暦を利用している。月の満ち欠けを基に作られている暦だ。日没を1日の初めにした理由である。

(2018/2/5 補足)

整数問題

x^2+y^2+z^2=2020

xyz=12960

を満たす自然数(x,y,z)を求めよ。