大人の数学教室031(絶対値①)

絶対値について、考えるシリーズです。

【第1章】

(1)絶対値

数直線で、原点Oからの距離を、「絶対値」という。

3の絶対値は3

-5の絶対値は5

数の符号を取った部分が絶対値になる。

aの絶対値を、|a|と表す。

|a|=a (a≧0)

|a|=-a (a＜0)

(2)絶対値の性質

①|a|≧a

②|a|^2=a^2

③|a|×|b|=|ab|

④b≠0のとき、|a|/|b|=|a/b|

⑤|a|+|b|≧|a+b|

(∵)|a|+|b|≧0, |a+b|≧0

(|a|+|b|)^2=|a|^2+2|a|×|b|+|b|^2

=a^2+2|ab|+b^2

|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

|ab|≧abより、

(|a|+|b|)^2≧|a+b|^2

|a|+|b|≧|a+b|

大人の数学教室030(不等式③)

【第3章】

(4)連立不等式(1次不等式と1次不等式)

それぞれの不等式を解く。

解の共通な部分が、連立不等式の解となる。

共通な部分を見つける方法は、それぞれの解を図示して、重なっている部分が解

大人の数学教室029(不等式②)

【第2章】

(3)1次不等式

a≠0とする。

ax+b＞0, ax+b＜0, ax+b≧0, ax+b≦0

の形に整理できる不等式を、「1次不等式」という。

方程式を解くイメージで解く。

不等号の性質(負の数で割ると、不等号の向きが変わる)に注意。

(1次不等式の解の形)

x＞a, x＜a, x≧a, x≦a

(例1)2x-4＞0 … -4を右辺に移項

2x＞4 … xの係数2で割る

x＞2

(例2)x-4≦3x-1 … xの項を左辺、数を右辺

x-3x≦-1+4

-2x≦3 …xの係数-2で割る→向きに注意

x≧-3

10!を2^10で割った余り

【1】10!を2^10で割った余りを求めよ。

【2】20!を2^20で割った余りを求めよ。

大人の数学教室028(不等式①)

不等式について考えるシリーズです。

【第1章】

(1)不等号

2つの数a,bを比較すると、

a＞b, a=b, a＜b

のいずれかが成り立つ。

＜,＞は開いている方が大きい。

3＜5, -2＞-4

a＞bまたはa=bを表すとき、a≧b

a＜bまたはa=bを表すとき、a≦b

x≧aを、xは「a以上」

x≦aを、xは「a以下」という。

以上と以下は境の数を含む。

x＜aを、xは「a未満」といい、境の数は含まない。

(2)不等号の性質

a＜b ⇒ a+c＜b+c

a＜b ⇒ a-c＜b-c

c＞0のとき

a＜b ⇒ ac＜bc, a/c＜b/c

c＜0のとき

a＜b ⇒ ac＞bc, a/c＞b/c

同じ数を足しても引いても不等号の向きは変わらない。

正の数を掛けても割っても変わらない。

負の数を掛けたり割ったりすると、不等号の向きは変わる。

(注意)文字を掛けたり割ったりするときは、その文字の正負を意識する。

2＜3だが、2a＜3aとは限らない。

不等号を挟んで辺を移すことを、「移項」という。

a-c＜b

a-c+c＜b+c …(※)

a＜b+c

(※)の式を省略すると、左辺にある-cが不等号を挟んで右辺に移ると、+cになっているように見える。不等号を挟んで移すと符号が変わる。

a+c＞b

a＞b-c

移項では、不等号の向きは変わらない。