グラフが3点(1,2), (2,-1), (3,4)を通る2次関数f(x)を求めよ。
f(x)=a(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-3)+c(x-1)(x-2)
とする。
f(1)=2a=2→a=1
f(2)=-b=-1→b=1
f(3)=2c=4→c=2
f(x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+2(x-1)(x-2)
=4x^2+(-5-4-6)x+(6+3+4)
=4x^2-15x+13
グラフが3点(p,q), (r,s), (t,u)を通る2次関数f(x)を求め方
f(x)=a(x-r)(x-t)+b(x-p)(x-t)+c(x-p)(x-r)…①
とおく。
f(p)=(p-r)(p-t)a=q→aを求める
f(r)=(r-p)(r-t)b=s→bを求める
f(t)=(t-p)(t-r)c=u→cを求める
①に代入して整理する。
(例)グラフが3点(1,-6), (-2,6), (4,3)を通る2次関数f(x)を求めよ。
f(x)=a(x+2)(x-4)+b(x-1)(x-4)+c(x-1)(x+2)
とおく。
f(1)=-9a=-6→a=2/3=4/6
f(-2)=18b=6→b=1/3=2/6
f(4)=18c=3→c=1/6
6f(x)=4(x+2)(x-4)+2(x-1)(x-4)+(x-1)(x+2)
=7x^2+(-8-10+1)x+(-32+8-2)
=7x^2-17x-26
よって、
f(x)=(7/6)x^2-(17/6)x-(13/3)
ラグランジュ補間多項式を利用した。
係数が整数でないときに有効
(例)一般的な解法
グラフが3点(1,-6), (-2,6), (4,3)を通る2次関数f(x)を求めよ。
求める関数をy=ax^2+bx+cとする。
a+b+c=-6
4a-2b+c=6
16a+4b+c=3
3a-3b=12→a-b=4→a=b+4
12a+6b=-3→4a+2b=-1
4(b+4)+2b=-1
6b=-17→b=-17/6
a=-17/6+4=7/6
7/6-17/6+c=-6
c=-6+10/6=-6+5/3=-13/3
よって、
y=(7/6)x^2-(17/6)x-(13/3)