等和数(2)

前回に、「等和数」を説明したように、連続した数を「＋」でつなぎ、途中に「＝」を入れて等式が成立した。[例、４＋５＋６＝７＋８]
今度は、１から始まる等和数を考えると、次も成り立っている。

　　　　　　　　　　　　　 １＋２＝３　　　　　　
　　１＋・・・・・・・・・・・・＋１４＝１５＋・・・・・・＋２０　　　　
　　１＋・・・・・・・・・・・・＋８４＝８５＋・・・・・・＋１１９　　　　　
　　１＋・・・・・・・・・・・＋４９２＝４９３＋・・・・・・＋６９６　　　　
　　１＋・・・・・・・・・・＋２８７０＝２８７１＋・・・・・・＋４０５９　　　　
　　１＋・・・・・・・・・＋１６７３０＝１６７３１＋・・・・・・＋２３６６０　　　　
　　１＋・・・・・・・・・＋９７５１２＝９７５１３＋・・・・・・＋１３７９０３　　
　　１＋・・・・・・・・＋５６８３４４＝５６８３４５＋・・・・・・＋８０３７６０　　
　　１＋・・・・・・・＋３３１２５５４＝３３１２５５５＋・・・・・・＋４６８４６５９　　
　　１＋・・・・・・＋１９３０６９８２＝９３０６９８３＋・・・・・・＋２７３０４１９６　　　　

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この「等和数」を寺田惠一氏が見つけ出したものだが、次のように証明できるらしいので、お暇な方はお試しください。。

ｍ（ｍ＋１） ｎ2＝-----------　　　　　　　　　　　　　・　・　・　①　　　　のとき 　　　　　　２ 　　　　　１＋２＋・・・・・・＋（ｎ＋ｍ）＝（ｎ＋ｍ＋１）＋・・・・・・＋（ｎ＋ｍ＋ｎ）

　
　それでは、左辺から右辺を導いてみたい。

　　　　　　１＋２＋・・・・・・＋（ｎ＋ｍ）＝(１/２)（ｎ＋ｍ）（ｎ＋ｍ＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２)｛ｎ²＋ｎｍ＋ｎ＋ｎｍ＋ｍ（ｍ＋１）｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(１/２)｛ｎ²＋ｎｍ＋ｎ＋ｎｍ＋２ｎ²｝ 　　 　　［∵　①より］

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ｎ/２)｛ｎ＋ｍ＋１＋ｍ＋２ｎ｝

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ｎ/２)｛（ｎ＋ｍ＋１）＋（ｎ＋ｍ＋ｎ）｝　　

　　これは、右辺を計算するのに、等差数列の和の公式を当てはめたものです。
　
　　これで、
　　　　　　　　　ｍ（ｍ＋１）
　　　　　ｎ²＝-----------　
　　　　　　　　　　　２

　　　　　　となる、ｎ、ｍを見つければ、

　　　　　　　１＋２＋・・・・・・＋（ｎ＋ｍ）＝（ｎ＋ｍ＋１）＋・・・・・・＋（ｎ＋ｍ＋ｎ）　

　　　　　　に当てはめて、等和数が導き出せるというものです。