概念アラカルト（その５） 概念研究家 五十嵐玲二談
２０． 指数と対数 （exponet and logarithm） 大きな数を表す
大きな数を表すために、指数を使います。（以下は佐藤敏明著「指数・対数」により）
１０ × １０ × １０ × １０ × １０ × １０ × １０ × １０ ＝ １０⁸ ＝ １億 というように使っています。
次に、地球の重さは、５.９７ × １０²⁴ Ｋｇ です。（本来は１０の後にゼロを２３個書くべきですが、省略します）
江戸時代の和算書の一つ吉田光由（みつよし）によって書かれた「塵劫記」（じんこうき）に、大きな数の命数法（めいすうほう）が書かれています。
１０⁴ : 万、１０⁸ : 億、１０¹² : 兆、１０¹⁶ : 京、１０²⁰ : 垓（がい）、１０²⁴ : 杼（じょ） …… とあります。
従って地球の重さは、５杼９千７百垓 Ｋｇ となります。
次の例はちょっと面倒ですが、面倒がっていては、数学を学ぶ資格はありません。面倒なことを簡単にするのが、数学なのですから。（偉そうですが、私の意見です）
「北半球から肉眼でも見られるただ一つの銀河系外星雲であるアンドレメダ星雲までの距離は、地球から２００万光年といわれている。それでは、地球からこの星雲まで何ｍ離れているか。」
１光年は、光が一年間で進む距離である。光は、１秒間に ３×１０⁸ ｍ進むことがわかっている。
一日は２４時間で一時間は、３６００秒で、一日は、２.４×１０× ３.６×１０³ ＝ ８.６４×１０⁴ 秒です。
２００万年は、２×１０⁶ × ３.６５ × １０² ＝ ７.３ × １０⁸ 日です。
したがって、この三つを掛け合わせると、３×１０⁸ ｍ/秒 × ８.６４×１０⁴ 秒/日 × ７.３ ×１０⁸ 日 ＝ １.８９ × １０²⁴ ｍ です。
つまり、約１８．９垓Ｋｍ離れていることがわかります。（ここで、指数部分の計算は足し算になって、いることが重要です）
次の例は、西洋（世界標準）での大きな数と小さな数です。
１０、da、デカ ; １０²、h、ヘクト ; １０³、K、キロ ; １０⁶、M、メガ ; １０⁹、G、ギガ ; １０¹²、T、テラ ; １０¹⁵、P、ペタ ; １０¹⁸、E、エクサ
このように、１０の三乗ごとに、名称があるため、１,０００,０００というふうにカンマを打ちます。
１０⁻¹、d、デシ ; １０⁻²、c、センチ ; １０⁻³、m、ミリ ; １０⁻⁶、μ、マイクロ ; １０⁻⁹、n、ナノ ; １０⁻¹²、p、ピコ ; １０⁻¹⁵、f、フェムト ; １０⁻¹⁸、a、アト となります。
指数法則と対数の関係
１０² × １０⁴ ＝ １０⁶ ２³ × ２⁵ ＝ ２⁸ これらを一般化すると
aのｍ乗 × aのｎ乗 ＝ aの(ｍ＋ｎ)乗 すなわち、指数部分は足し算になります。
８＝２³ は log₂８＝３となり、１００００＝１０⁴ は log₁₀10000＝４ これをlog、対数（ロガリズム）と呼びます。
これを一般化すると
M ＝ a のp乗 は、logaM = p と表せます。 これを言葉にすると、Mはaの何乗か イコール ｐ です。
logaM ： aを底とするMの対数、M : logaMの真数 と言います。
対数の３つの性質
logMN ＝ logaM＋logaN すなわち掛け算 MN が足し算 logaM＋logaN になります。
logaM/N ＝ logaMーlogaN すなわち割り算 M/N が引き算 logaMーlogaN になります。
logaMのk乗 ＝ k logaM すなわちMのk乗がlogaMのk倍になります。
化石の年代測定について、考えてみます。
発見された、マンモスの体毛に含まれる炭素のうち、放射性炭素14Cの割合は１.３２０×１０＾（－１３）であった。
放射性炭素14Cは半減期5730年で14Nにβ崩壊する。大気中の二酸化炭素に含まれる炭素のうち、放射性炭素14Cが占める割合は１.２００×１０＾（－１２）であり、この割合は時間の経過に関わらず一定である。
1.32×１０⁻¹³ ÷ 1.2×１０⁻¹² ＝ o.11 （Y年経過後の14Cの12Cに対する率 ／ マンモスが生きて時の14Cの12Cに対する率）
半減期は、5730年で半分に、5730×２年で1／４に、5730×3年で1／８になります。
すなわち、経過した半減期をN回とすると
log[1/2]０.１１＝３.１８４
したがって、マンモスが生きていたのは、
5730×3.184＝1.82×10⁴年前、 すなわち、１万８千年前です。 （第５回）