概念アラカルト（その６）
２１． 指数と対数 （exponet and logarithm） 音階と長さと振動数、チェロの場合
１） チェロには、４本の弦が張られています。低い方から、Ｃ弦（ド）、Ｇ弦（ソ）、Ｄ弦（レ）、Ａ弦（ラ）です。
２） 弦の長さが半分になると振動数が２倍になり、１オクターブ音階が上がります。更に弦の長さが半分（１/４）になると、振動数は４倍になり、２オクターブ音階があがります。弦の長さが（１/８）になると、３オクターブ音階が上がり、振動数は８倍になります。
すなわちオクターブは１づつ上がりますが、振動数は、２倍、４倍、８倍……、となり、弦の長さは、１/２、１/４、１/８……となります。
３） 弦の長さ Ｌ と振動数 ν は、L ＝ K／ν の関係になり、Kは、定数（弦と張力による）です。
４） １オクターブは、１２個の半音で構成されています。長さが半分の位置（１オクターブ高い所）から、半音階づつ下がっていきます。すなわち、ある割合（R）で長くすることを、１２回繰り返すと、１オクターブ下がります。
（R）¹² ＝ R×R×R×R…＝ ２ となる。実際に、１２回掛け算で、何回か試行錯誤をすると、１．０５９が求められる。
Ｒ ＝ ２¹/¹² で解けるらしいのですが、なんとか展開ですので、興味のある方は、自分で研究してください。
５） そこで、チェロの一番低いＣ弦で、平均律の半音階づつ上げた値と、弦の比の分数値と振動比を表示します。
ハ調で 弦の長さ比 それを少数で ２¹/¹²を乗じた値 振動の比 振動数（ヘルツ）
ド １ １ ０.９９４８ １ ６６
レ ８／９ ０.８８８８ ０.８８７０ ９／８ ７４.２５ この間１音
ミ ４／５ ０.８０ ０.７９０９ ５／４ ８２.５ この間１音
ファ ３／４ ０.７５ ０.７４６８ ４／３ ８８ この間半音
ソ ２／３ ０.６６６ ０.６６５９ ３／２ ９９ この間１音
ラ ３／５ ０.６００ ０.５９８２ ５／３ １１０ この間１音
シ ８／１５ ０.５３３３ ０.５２９５ １５／８ １２３.７５ この間１音
ド １／２ ０.５０ ０.５００ ２ １３２ この間半音
６） Ｇ弦（ソ）は、Ｃ弦（ハ）の２／３の位置のソに開放弦を合わせ、振動数は、１．５倍です。カッコ内は（弦の長さ、振動数）です。
Ｇ弦（ソ）は、ソ（１、９９）、ラ（８／９、１１０）、シ（４／５、１２３.７５）、ド（３／４、１３２）、レ（２／３、１４８.５）、ミ（３／５、１６５）、ファ（４／７、１７６）、ソ（１／２、１９８）です。
７） Ｄ弦（レ）は、Ｇ弦（ソ）の２／３の位置のレに開放弦を合わせ、振動数は、１．５倍で、Ｃ弦（ド）の２．２５倍の振動数です。
Ｄ弦（レ）は、レ（１、１４８.５）、ミ（８／９、１６５）、ファ（５／６、１７６）、ソ（３／４、１９８）、ラ（２／３、２２０）、シ（３／５、２４７.５）、ド（４／７、２６４）、レ（１／２、２９７）です。
８） Ａ弦（ラ）は、Ｄ弦（レ）の２／３の位置のラに開放弦を合わせ、振動数は、１．５倍で、Ｃ弦（ド）の３．３７５倍の振動数です。
Ａ弦（ラ）は、ラ（１、２２０）、シ（８／９、２４７.５）、ド（５／６、２６４）、レ（３／４、２９７）、ミ（２／３、３３０）、ファ（７／１１、３５２）、ソ（４／７、３９６）、ラ（１／２、４４０）です。
９） ここでの振動数は、Ａ弦（ラ）の１／２の位置のラの振動数を４４０ヘルツ（１秒間の振動数）として、書いています。
１０） 代表的な和音ドミソは、Ｇ弦で、弦の長さと振動数を表すと、ド（１、６６）、ミ（４／５、８２．５）、ソ（２／３、９９）で倍音が共鳴します。
さらに、和音ファラドは、ファ（３／４、８８）、ラ（３／５、１１０）、ド（１／２、１３２）で倍音が共鳴します。
１１） 私のチェロは、指板の右または左に、白いマジックで、印を付けています。まず弦の長さが１／２ の点です。ここは１オクターブの点ですから、重要で印が付いているので、目だけでポジショニングが可能です。
１２） 次に重要な点は、３／４の点です。例えばＧ弦のド（３／４、１３２）は、隣のＣ弦の（１／２、１３２）と同じ高さで、Ｃ弦の開放弦のいオクターブの高さになり、共鳴します。この点は、開放弦から半音で５度上がった点でもあります。
１３） つぎに重要な点は、２／３の点です。例えばＣ弦のソ（２／３、９９）は、隣のＧ弦の解放弦の高さで、共鳴します。半音で７度上がった点でもあります。
１４） さらに、Ａ弦については、５／１２の点は、ド（５／１２、５２８）です。１／３の点は、ミ（１／３、６６０）です。１／４の点は、開放弦のラに対して、２オクターブ高いラ（１／４、８８０）です。 これらの点はチェロのハイポジションの点で、指板の左側に印を付けます。
以上のことをチェロの指板上で、整理しますと、以下のようになります。〇印は間にある半音階の位置です。音階はハ調です。
８/９ ４/５ ２/３ ３/５ ９/１７
１ １７/２０ ３/４ ７/１１ ４/７ １/２ ５/１２ １/３ １/４ ← 弦の長さ
Ａ弦 ラ 〇 シ ド 〇 レ 〇 ミ ファ〇 ソ 〇 ラ 〇 シ ド 〇 レ 〇 ミ ファ〇 ソ 〇 ラ
Ｄ弦 レ 〇 ミ ファ〇 ソ 〇 ラ 〇 シ ド 〇 レ
Ｇ弦 ソ 〇 ラ 〇 シ ド 〇 レ 〇 ミ ファ〇 ソ → bridge
Ｃ弦 ド 〇 レ 〇 ミ ファ〇 ソ 〇 ラ 〇 シ ド
（第６回）